Задачі для самостійного розв’язування

1. Обчисліть значення визначників, застосовуючи їх властивості:

1) ; 2); 3); 4); 5);

6) .

2. Обчисліть значення визначників другого порядку:

1) ; 2); 3); 4).

3. Обчисліть значення визначників третього порядку:

1) за правилом трикутників;

2) за правилом Саррюса;

3) розкладаючи за рядком;

4) розкладаючи за стовпцем;

5) попередньо отримавши максимальну кількість нулів у рядку:

а) ,,; б),,;

в) ,,; г),,.

4. Обчисліть значення визначників:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8); 9);

10) ; 11); 12).

5. Обчисліть значення визначників, використовуючи їх властивості:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

6. Використовуючи теорему Лапласа, обчисліть визначники:

1) ; 2); 3); 4);

5) ; 6); 7);

8) ; 9).

7. Розв’яжіть рівняння:

1) ; 2); 3).

8. Обчисліть визначник матриці, яка є добутком двох заданих матриць:

1) і; 2)і; 3)і;

4) і; 5)і.

Практичне заняття № 3 Тема: Методи знаходження оберненої матриці

Нехай – квадратна матриця-го порядку.

Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник відмінний від нуля. А якщо визначник дорівнює нулю, то матриця називається виродженою.

Приклад. Визначимо, при яких значеннях матрицявироджена. Для цього знайдемо її визначник:

.

Матриця буде виродженою, якщо її визначник дорівнюватиме нулю. Отже:

.

Відповідь: При матрицявироджена.

Оберненою до матриці називається матриця, якщо виконується умова, де– одинична матриця того ж порядку, що й матриця.

Матриця має той самий порядок, що й матриця.

Теорема. Кожна не вироджена матриця має обернену.

Приклад. Визначимо, при яких значеннях матрицямає обернену. З попереднього прикладу видно, що приматриця вироджена, отже оберненої не має; приматриця не вироджена, тому обернена до неї матриця існує.

Властивості оберненої матриці:

1. ;

2. ;

3. .

Матрицю, обернену до даної, можна знайти, використовуючи один з двох методів:

1. метод алгебраїчних доповнень:

• обчислити визначник даної матриці: ;

• обчислити алгебраїчні доповнення всіх елементів даної матриці;

• записати обернену матрицю у вигляді:

.

2. метод приєднання одиничної матриці:

• приєднати (приписати справа) до даної матриці одиничну матрицю того ж порядку: ;

• привести записану матрицю до виду за допомогою елементарних перетворень рядків матриці;

• записати .

Приклади розв’язування задач

1. Знайдіть матрицю, обернену до даної двома способами.

Розв’язання:

І спосіб.

.

Визначник даної матриці відмінний від нуля, тому обернена матриця існує. Знайдемо алгебраїчні доповнення всіх елементів матриці:

, ,

, ;

Отже, .

ІІ спосіб.

;

Тоді .

Відповідь: .

Виконаємо перевірку:

;

.

Вірно.

2. Дано матриці

, .

Знайдіть методом приєднання одиничної матриці,– методом алгебраїчних доповнень.

Розв’язання:

а) Для знаходження оберненої матриці скористаємось методом елементарних перетворень над рядками (на рівні рядка будемо записувати відповідне перетворення).

.

Перевіркою встановлюємо, що, дійсно, .

б) , отже, вона не вироджена і має обернену. Знайдемо алгебраїчні доповненнядо елементів:

, ,,,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Тоді

.

Читач самостійно може впевнитися в тому, що та для

оберненою буде .

3. Доведіть, що для матриць прикладу 2: .

Розв’язання:

.

Застосовуючи метод елементарних перетворень, отримаємо

.

З іншого боку:

.

Очевидно, що рівність виконується.

4. Розв’яжіть матричне рівняння .

Розв’язання:

Якщо матриця не вироджена, то обидві частини матричного рівняння можна помножити зліва на:

,

,

,

.

Тоді .