Властивості визначників

1. Визначник не змінюється при транспонуванні, тобто .

2. Якщо один з рядків визначника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.

3. При перестановці двох рядків визначник змінює знак.

4. Визначник, що має два однакові рядки, дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи рядка визначника помножити на деяке число , то сам визначник помножиться на число.

6. Визначник, що містить два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

7. Якщо елементи будь-якого стовпця визначника являють собою суми двох доданків, то визначник може бути розкладений на суму двох відповідних визначників. Наприклад,

.

8. Якщо один з рядків визначника є лінійною комбінацією інших його рядків, то визначник дорівнює нулю.

9. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного його рядка додати відповідні елементи іншого його рядка, помножені на одне і те саме число.

Мінором елемента визначника-го порядку називається визначник-го порядку, отриманий зшляхом викреслювання-го рядка та-го стовпця (на перетині яких перебуває обраний елемент). Позначення:.

Приклад. Для визначника запишемо мінориелементатаелемента:,.

Алгебраїчним доповненням елемента визначниканазивається його мінор, узятий зі знаком, тобто.

Приклад. Для визначника запишемо такі алгебраїчні доповнення,.

10. Теорема (Розкладання визначника за елементами деякого рядка або стовпця). Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (або стовпця) на відповідні їм алгебраїчні доповнення, тобто (або).

Ця властивість є способом обчислення визначників вищих порядків.

Приклад. Розкладемо визначник за першим рядком:

11. Сума добутків елементів якого-небудь рядка визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка цього ж визначника дорівнює нулю, тобто .

12. Визначник трикутної (верхньотрикутної або нижньотрикутної) матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

13. Визначник добутку матриць дорівнює добутку визначників .

Алгебраїчним доповненням мінору визначниканазивається мінор, отриманий звикреслюванням стовпців та рядків, на перетині яких стоять елементи мінору, взятий зі знаком «+», якщо сума номерів цих рядків та стовпців є числом парним та зі знаком «–», якщо непарним.

Теорема Лапласа. Зафіксуємо рядків визначника-го порядку. Тодівизначник дорівнює сумі добутків всіх визначників -го порядку, що містять елементи цихрядків, на їх алгебраїчні доповнення.

Приклади розв’язування задач

1. Не розкриваючи визначників, доведіть справедливість рівностей:

а) ,

б) .

Розв’язання:

а) Використовуючи тригонометричні формули, отримаємо:

.

Оскільки перший та третій стовпці визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю (властивість 6).

б) За властивістю 7 представимо даний визначник у вигляді суми двох:

.

Перший доданок дорівнює нулю, так як у нього перший та третій рядки рівні (властивість 4). Винесемо множник з третього рядка останнього визначника (властивість 5):

.

За властивістю будемо мати:

.

Отже, рівність доведено.

2. Обчисліть визначники:

а) ; б).

Розв’язання:

а) Спочатку з п’ятого рядка віднімемо другий, помножений на 4:

.

Далі розкладемо останній визначник за п’ятим рядком:

.

Таким чином, визначник п’ятого порядку зведено до визначника четвертого порядку. Тепер розкладемо останній визначник за другим рядком:

Визначник матриці третього порядку розкриємо за правилом трикутників та знайдемо значення вихідного визначника:

.

б) З другого, третього та четвертого рядка даного визначника віднімемо перший. Тим самим ми приведемо його до трикутного виду. Значення визначника верхньотрикутної матриці дорівнює добутку діагональних елементів. Так отримаємо:

.

3. Користуючись теоремою Лапласа, обчисліть визначник:

.

Розв’язання:

Теорему Лапласа зручно застосовувати для обчислення визначників, що містять нулі у декількох різних рядках, але в одних і тих самих стовпцях. Цій умові якраз і відповідає даний визначник (див. другий та четвертий рядки). Тому виділимо перший і третій його рядок. За теоремою Лапласа визначник дорівнює сумі добутків всіх мінорів, що складаються з елементів виділених рядків на відповідні їм алгебраїчні доповнення:

.

Тільки один доданок із шести (четвертий) в отриманій сумі відмінний від нуля. Саме він дає значення даного визначника:

.

В подальшому при знаходженні значення визначника за теоремою Лапласа нульові доданки можна не записувати.

4. Користуючись теоремою Лапласа, обчисліть значення визначника:

.

Розв’язання:

У даному визначнику нульові елементі містять другий та п’ятий рядки. Тому при його розкритті будемо використовувати мінори, що включають в себе перший, третій та четвертий рядки. Застосовуючи теорему, отримаємо:

.

З десяти доданків, що отримали в такому розкладі, ненульовими будуть тільки три. Ясно, що це доданки, в яких мінори не містять нульові елементи третього та п’ятого стовпців. Таким чином, даний визначник дорівнює:

.