Приклади розв’язування задач

1. Знайдіть можливі добутки матриць ,.

Розв’язання:

Добуток існує:,

Добуток – не існує, тому що кількість стовпців матриці(два стовпці) не дорівнює кількості рядків матриці(один рядок).

2. Дано матриці ,,. Знайдіть.

Розв’язання:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

3. Дано матрицю . Знайдіть.

Розв’язання:

;

.

За властивостями добутку матриць: , тому матрицітає переставними:.

4. Дано дві матриці:,. Обчисліть:

а) ; б); в).

Розв’язання:

а) За означенням добутку матриці на число обчислимо та:

; .

За правилом додавання матриць отримаємо:

.

б) За означенням транспонованої матриці . Помножимо елементи матриціна 3:

.

Тоді .

в) Знайдемо матрицю, що дорівнює .

.

Зауважимо, що за властивостями множення .

Тоді .

Матричним рівнянням називають рівняння, невідомим якого є матриця. Коренем матричного рівняння є матриця, яка при підстановці її у рівняння перетворює його на вірну тотожність. Два рівняння називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків співпадають. Для розв’язання матричних рівнянь використовують такі перетворення, як додавання до обох частин рівняння однієї і тієї ж матриці (за правилом додавання матриць), множення обох частин рівності на ненульове число, множення обох частин рівності на ненульову матрицю (за правилом множення матриць).

5. Знайдіть матрицю , якщо(та– матриці з прикладу 4).

Розв’язання:

Додамо до обох частин даного рівняння матрицю , а потім помножимо обидві частини на число. Отримаємо:

.

, .

6. Перевірте, чи виконуються для матриць таз прикладу 4 рівності:

а) ; б); в).

Розв’язання:

а) Перевіримо виконання даної рівності. Для цього перетворимо ліву та праву його частини:

; ;

;

.

З іншого боку:

; ;

.

Отримаємо вірну рівність: .

б) За означенням добутку матриць:

; .

З іншого боку:

; ;

.

Рівність вірна.

в) Знайдемо квадрат суми матриць:

;

.

З іншого боку:

;

;

;

.

Таким чином,

.

Отже, твердження для даних матриць доведено.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Для заданих матриць виконайте зазначені дії:

а) для матриць ,,обчисліть,,,,,,,;

б) для матриць ,,обчисліть,,,,;

в) для матриць ,,обчисліть,,,.

2. Знайдіть добутки матриць:

а) ; б); в);

г) ; д); е);

ж) ; з); і).

3. Обчисліть значення многочлена від матриці:

а) ,; б),.

Зауваження 4. При знаходженні значення многочлена від матрицібудемо вважати його вільний членрівним, де– порядок матриці.

4. Розв’яжіть системи матричних рівнянь:

а) ,,

б),.

Практичне заняття № 2 Тема: Перестановки. Підстановки. Визначник та його властивості

Перестановкою натуральних чиселназивається довільний впорядкований набір цих чисел.

Приклад. Перестановками чисел є,,.

Теорема. Існує різних перестановок зелементів.

Інверсією в перестановці називається пара елементів таких, щотаперебуває лівіше. Кількість інверсій у перестановціпозначається.

Приклад. а) У перестановці число 2 утворює інверсію, 1 не утворює інверсій, 4 –, 3 та 5 – не утворюють. Отже,.

б) Наведемо всі інверсії перестановки :,,,,,;,,;,,;. Підрахуємо їх кількість: .

Перестановка називається парною, якщо в ній число інверсій парне, непарною – у противному випадку (див. попередній приклад).

Транспозицією називається таке перетворення перестановки, при якому міняються місцями два елементи перестановки (не обов’язково ті, що стоять поруч), а всі інші залишаються на місці. Всі перестановок зчиселможна розташувати в такому порядку, що кожна наступна буде отримуватись з попередньої однією транспозицією, причому починати можна з будь-якої перестановки.

Теорема. Будь-яка транспозиція змінює парність перестановки.

Підстановкою -го порядку(степеня) називають взаємно однозначне відображення множини у себе. Зазвичай підстановки записують у вигляді матриці розміру. У першому рядку розміщуються елементи від 1 до(прообрази), а в другому рядку – елементи, в які вони відображаються (образи).

Приклад. Підстановка четвертого порядку .

Підстановка – це дві перестановки, записані одна під іншою у вигляді матриці. Підстановка називається парною (непарною) якщо сума інверсій в обох рядках є числом парним (непарним).

Приклад. , отже підстановка непарна.

Зауваження. Якщо в підстановці поміняти місцями стовпці, то одержимо іншу форму запису тієї ж підстановки.

Приклад. .

Парність підстановки не залежить від форми її запису.

Приклад. ,.

Визначником (детермінантом) квадратної матриці порядку називається число(або, або), що дорівнює сумідоданків, кожний з яких є добуткомелементів цієї матриці, взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця зі знаком «плюс», якщо підстановка, складена з індексів елементів цього добутку, парна та зі знаком «мінус», якщо непарна.

Позначення: при

, ,;

, ,;

, ,;

…

, .

Означення детермінанта матриці порядку , з якого випливає правило його обчислення, є досить складним для сприйняття й застосування. Однак відомі методи, що дозволяють обчислити визначники високих порядків на основі визначників нижчих порядків.

Обчислення визначника 2-го порядку ілюструється схемою:

.

Приклад.

.

При обчисленні визначника 3-го порядку зручно користуватися:

• правилом трикутників, яке ілюструється схемою:

.

• правилом прямих (правилом Саррюса), яке ілюструється схемою:

.