Практичне заняття № 1 Тема: Матриці. Дії з матрицями

Матрицею розміру (розмірності) , де– число рядків,– число стовпців, називається прямокутна таблиця зелементів деякої множини. Якщо елементами матриці є числа, то матриця називається числовою, якщо вектори, то – векторною, якщо функції, то – функціональною. Розглянемо числову матрицю. Місце кожного елементаматриці однозначно визначається номером рядкай стовпця, на перетині яких він знаходиться. Позначають:

або ,

або .

Матриця, у якої число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною (квадратну матрицю розмірності називають матрицею-го порядку і позначаютьабо).

Елементи ,, у яких номери рядка й стовпця, на перетині яких вони знаходяться, співпадають, утворюютьголовну діагональ.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, окрім головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною.

Діагональна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одиничною. Позначають:

.

Квадратна матриця називається верхньотрикутною (нижньотрикутною), якщо всі елементи, розташовані нижче (вище) головної діагоналі, дорівнюють нулю.

Приклад. Верхньотрикутна та нижньотрикутнаматриці.

Квадратна матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою і позначається:

.

Матриці іназиваютьсярівними, якщо вони мають однакові розміри й рівні відповідні елементи, тобто

, якщо , де,.

Якщо для всіх елементів матриці виконується умова (симетрія відносно головної діагоналі), то матриця називаєтьсясиметричною.

Приклад.

.

Матриця, що містить один рядок, називається вектором або матрицею-рядком, а матриця, що містить один стовпець, також називається вектором або матрицею-стовпцем. Їх вид:

–матриця-стовпець, – матриця-рядок.

Матриця розміру , що складається з одного числа, ототожнюється з цим числом, тобтоє число 5.

Транспонування матриць

Матриця, отримана з даної заміною кожного її рядка стовпцем з тим же номером, називається матрицею, транспонованою до даної. Позначають: або.

Приклад.

, ;

, .

Транспонування матриць має таку властивість: .

Додавання матриць

Сумою двох матриць іоднакового розміру називається матрицятого ж розміру, кожний елемент якої є сумою відповідних елементів матриць-доданків, тобто якщой, то, де,.

Приклад.

.

Аналогічно визначається різниця матриць: , де,.

Множення матриці на число

Добутком матриці на дійсне число називається матриця, кожний елемент якої є добутком відповідного елемента матриціта числа, тобто, де,.

Приклад.

, .

Матриця такого ж розміру, що і матриця, називаєтьсяпротилежною до матриці , якщо. Наслідком з цього є рівність

Різницю матриць можна визначити й так:.

Властивості операцій додавання матриць і

множення матриці на число

(– матриці,):

1. –комутативність додавання;

2. –асоціативність додавання;

3. ;

4. ;

5. ;

6. –дистрибутивність;

7. –дистрибутивність;

8. –асоціативність.

Добуток матриць

Добутком матриці на матрицюназивається матриця, кожний елемент-ого рядка й-ого стовпця якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів-ого рядка матриціта-ого стовпця матриці, тобто

, де ,.

Зауваження 1. Добуток матриць можливий у випадку, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої.

Зауваження 2. Якщо квадратні матриці йодного порядку, то добуткийзавжди існують.

Приклад. Знайти добутки таматриць: а)і; б)і.

Розв’язання:

а) ,

;

,

.

б) ,

;

,

.

Зауваження 3. У загальному випадку добутки йне дорівнюють один одному:.

Матриці таназиваютьсяпереставними, якщо .

Добуток називається-им степенем матриці.

Властивості операцій транспонування, множення,

додавання матриць і множення матриці на число

(– матриці,), якщо записані операції мають сенс:

1. ; 5. ;

2. ; 6. ;

3. ; 7. ;

4. ; 8. .