Практичне заняття № 8 Тема: Модульна контрольна робота № 1 (приклад)
Знайдіть ранг матриці
:
а) методом обведення мінорів;
б) методом елементарних перетворень.
.
Дослідіть систему на сумісність. У випадку позитивної відповіді знайдіть її загальний розв’язок:
Знайдіть загальний розв’язок та фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь:
Визначте невідому матрицю X з рівняння:
Завдання для самостійного опрацювання
Знайдіть значення визначника
-го
порядку методом рекурентних співвідношень:
а)
;
б)
.
Розв’язання:
Метод рекурентних співвідношень полягає в наступному: розкладанням за рядком або стовпцем даний визначник виражають через визначники такого ж виду, але меншого порядку. Отримана рівність називається рекурентним співвідношенням.
Для отримання значення визначника довільного порядку, обчисливши з рекурентного співвідношення декілька визначників менших порядків, намагаються «вгадати» загальний вираз шуканого виразу, а потім доводять його справедливість методом математичної індукції.
а) Розглянемо один з частинних випадків, коли рекурентне співвідношення дає алгоритм для розв’язання задачі, що виключає елемент здогадки.
Нехай рекурентне співвідношення має вид
,
де
и
не залежать від
;
,
– визначники матриць
-ого,
-ого
порядків такого ж виду. Розглянемо два
випадки:
1)
при
;
2)
при
складаємо квадратне рівняння
,
коренями якого є числа
та
:
а)
якщо
,
то
,
де
;
б)
якщо
,
то
,
де
.
Проілюструємо наведений алгоритм на прикладі, але спочатку знайдемо значення визначників цього типу першого – четвертого порядків:
,
,
,
.
Тепер
розглянемо визначник
-ого
порядку. Спочатку розкладемо його за
першим рядком:
.
Тут
– визначник такого же виду, що й вихідний,
але
–ого
порядку. Останній визначник в отриманому
представленні
розкладемо за першим стовпцем:
.
Таким
чином, приходимо до співвідношення
.
Складемо
квадратне рівняння виду
,
де
.
Коренями його будуть числа
.
Так як
,
то
,
де
.
За
знайденими значеннями
,
визначаємо:
,
.
Отже,
.
б)
Розглянемо визначники менших порядків
для з’ясування приблизної форми
визначника
-ого
порядку:
,
,
,
.
На основі цих записів можна припустити, що
.
Доведемо
правдивість цієї формули методом
математичної індукції. При
твердження істинне. Припустимо, що при
:
.
Доведемо, що при
:
.
Для цього розкладемо вихідний визначник
за останнім стовпцем:
.
Що і треба було довести.
Обчисліть значення визначника, що зводиться до визначника Вандермонда:
,
,
,
.
Розв’язання:
Визначником Вандермонда називається визначник виду:
.
Зведемо
даний в умові визначник до визначника
такого типу наступним чином: винесемо
з першого рядка множник
,
з другого –
,
,
з останнього –
.
Отримаємо:
.
Обчисліть визначники
-го
порядку:
а)
,
б)
.
Розв’язання:
а) Зведемо матрицю до трикутного виду, для чого віднімемо від кожного її рядка перший рядок. Тоді
.
б) Перевіряючи отримані знання, читач може впевнитись самостійно, що:
.
Додаткові завдання для самостійного розв’язування
Укажіть транспозиції, за допомогою яких можна перейти від перестановки:
1)
до перестановки
;
2)
до перестановки
.
Знайдіть число інверсій у наступних перестановках та визначте їх парність:
1)
;
2)
.
Знайдіть число інверсій в перестановках та укажіть загальний вигляд тих
,
для яких перестановка буде парною, та
тих
,
для яких вона буде непарною:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
З’ясуйте, які з наведених добутків є членами визначника відповідного порядку. У випадку позитивної відповіді визначте його знак:
1)
;
2)
;
3)
.
Оберіть
таким чином, щоб наступні добутки були
додатними членами визначників відповідних
порядків:
1)
;
2)
.
Обчисліть визначники:
1)
; 2)
; 3)
Знайдіть розв’язки рівняння.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
,
5)
.
При яких значеннях k система
сумісна?
При яких значеннях t система
має ненульові розв’язки?
Числа 204, 527 і 255 діляться на 17. Доведіть, що визначник
також ділиться на 17.Обчисліть визначник
.
Доведіть справедливість наступних рівностей:
1)
;
2)
.
Розкладіть за елементами третього рядка і обчислити визначник
.
Розкладіть за елементами останнього стовпця і обчислити визначник
.
Розкладіть за елементами першого стовпця і обчислити визначник
.
Обчисліть визначники:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Розв’яжіть за формулами Крамера системи рівнянь:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Доведіть, що система
має єдиний розв’язок, якщо a, b, c, d — дійсні числа, серед яких не всі дорівнюють нулю.
Скільки визначників k-го порядку можна скласти з матриці, що має m рядків і n стовпців?
Складіть матрицю, ранг якої дорівнює: а) 2; б) 3.
Доведіть, що ранг суми двох матриць не перевищує суми рангів матриць-доданків.
Як може змінитися ранг матриці, якщо до неї дописати:
а) 1 стовпець, б) 2 стовпці?
Обчисліть ранг матриці:
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
.
7)
.
8)
.
9)
.
10)
.
11)
.
12)
.
13)
.
Розв’яжіть системи рівнянь:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
Система
має
єдиний розв’язок. Доведіть, що
,
і знайдіть розв’язок.
Розв’яжіть систему рівнянь в залежності від параметру:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Чи є матриця
фундаментальною системою розв’язків
системи рівнянь
Знайдіть добутки матриць:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Виконати дії:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Доведіть, що кожна матриця другого порядку
задовольняє рівняння
.Знайдіть всі матриці другого порядку, квадрати яких дорівнюють нульовій матриці.
Знайдіть всі матриці другого порядку, куби яких дорівнюють нульовій матриці.
Знайдіть всі матриці другого порядку, квадрати яких дорівнюють одиничній матриці.
Розв’яжіть і дослідіть рівняння
,
де
– деяка відома матриця, а
– шукана матриця другого порядку.Розв’яжіть і дослідіть рівняння
,
де
– деяка відома матриця, а
– шукана матриця другого порядку.Знайдіть обернену матрицю для матриці А.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
.
Знайдіть невідому матрицю
з рівняння:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Обчисліть
,
де
,
.Знайдіть всі дійсні матриці другого порядку, куби яких дорівнюють одиничній матриці.
Знайдіть всі дійсні матриці другого порядку, четверті степені яких дорівнюють одиничній матриці.
Доведіть, що
1)
;
2)
.
Обчисліть
,
якщо
,
,
.
Обчисліть
,
якщо
,
,
.
При яких значеннях
система рівнянь не сумісна, сумісна? У
випадку сумісності укажіть кількість
розв’язків СЛАР:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Знайдіть загальний розв’язок та ФСР однорідної СЛАР:
1)
2)
3)
4)
Користуючись теоремою Лапласа, знайдіть значення визначників:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Знайдіть значення визначників
-го
порядку методом рекурентних співвідношень.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Обчисліть значення визначників, що зводяться до визначника Вандермонда.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Обчисліть визначники
-го
порядку:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.