15.7, Расчет коэффициентов надежности эвм

Коэффициентами надежности ЭВМ принято считать коэффициент техниче­ского использования K_tf, коэффициент полезной работы К_uw коэффициент эф­фективной профилактики — К_ер_r , коэффициент профилактики Кр_r.

При расчете коэффициентов надежности используются временные диаграм­мы работы модели ЭВМ. На рис. 15.10 приведены временные диаграммы работы модели ЭВМ без отказов (а) и с отказом (б). На этих диаграммах приняты следующие обозначения:

t — текущее значение времени;

— полное время работы модели}

— время профилактики модели (включая и время действия провероч­ных тестов, связанных с профилактикой);

— время готовности модели, т. е. время, в течение которого модель включена, исправна и может начать работу в любой требуемый момент време­ни t_i;

— время, необходимое на начальное прохождение тестов на модели;

— время ремонта (восстановления) модели после отказа;

— время, затрачиваемое на повторные действия части программы (или всей программы) после устранения отказов;

—полезное или оперативное (время, затрачиваемое на проведение

— время поиска отказа;

— время локализации (или устранения) отказа;

—время устранения последствий отказа;

— время действия тестов, связанных с расчетным периодом.

Из рассмотрения временных диаграмм работы модели можно записать сле­дующие соотношения:

(15.57)

(15.58)

(15.59)

Рис. 15.10. К расчету коэффициента надежности.

Время и задаются в техническом задании на модель; время—

обратно пропорционально планируемому времени работы модели, время —определяется по формулам, приведенным в § 15.6.

Время определяется по формуле вида

(15.60)

где τ— время, затрачиваемое на повторное решение части (или всей) программы после отказа.

Расчет коэффициента технического использования. В случае, если для устройств модели ЭВМ профилактические и ремонтные работы проводятся последовательно, коэффициент технического использования определяется по фор­муле

(15.61)

где

(15.62)

Рис. 19.11. К расчету коэффициента технического обслуживания,

:

—затраты времени на профилактику и ремонт i-го устройства; — полное время работыi-го устройства в составе модели;

(15.63)

п — количество устройств в составе модели ЭВМ.

Выражение (15.61) можно записать и в виде:

Если профилактические и ремонтные работы выполняются в то время, когда блокi-го устройства не готов к работе, в то время как модель целиком находитсяв состоянии готовности (сюда относится и случай профилактики и расчета i-го резервного устройства, не подключенного к модели,) то коэффициент техниче­ского использования определяется в соответствии с временной диаграммой рис. 15.11, где — время работы модели без учета (i-го уст­ройства; —время работы модели с учетом i-го устройства модели (при этом профилактика и ремонт устройства проводятся последовательно с про­филактикой и ремонтом модели в целом); — время модели с учетом i-го устройства модели, когда профилактика и ремонт i-ro устройства проводится во время неготовности (— .) устройства, при этом во время готовности, как правило, можно проводить только профилактические работы;

—коэффициент технического использования i-го устройства.Коэффициент технического использования модели ЭВМ сподключения к работе i-гo устройства определяется по формуле

(15.64)

или

(15.65)

где — коэффициент, учитывающий уменьшение времени затрат модели засчет i-гоустройства с учетом возможности проведения параллельного ремонта i-гоустройства при отказе и ремонте j-гоустройства модели.

Так как

(15.66)

откуда

(15.67)

Коэффициент технического использования модели ЭВМ с учетом i-го рабо­тающего устройства, когда профилактика и ремонт i-го устройства проводятся в то время, когда оно не готово к работе (т. е. при —), определяется по формуле:

(15.68)

Коэффициент технического использования i-го устройства (см. фор­мулу (15.62)) в случае наличия резерва изmустройств определяется по формуле

(15.69)

при условии, что

т. е. что время, отводимое на выполнение ремонтных и профилактических работ в п работающих устройствах, не должно превышать времени, в течение которого эти устройства могут быть заменены резервными устройствами.

Расчет коэффициента полезной работы модели ЭВМ. Коэффициент полезной работы показывает отношение полезного или операционного времени модели к сумме полезного времени, времени ремонта и времени затрат на вторичное дей­ствие прекращенных программ вследствие отказов модели, т. е.

(15.70)

Коэффициент полезной работы с учетом ранее выведенных соотношений оп­ределяется по формулам:

(15.71)

или

(15.72)

так как

или

(15.73)

Расчет коэффициента профилактики модели ЭВМ. Коэффициент профилак­тикипоказывает отношение времени, затраченного на профилактику кполному времени работы модели ЭВМ и определяется по формуле

(15.74)

Расчет коэффициента эффективной профилактики. Коэффициент эффектив­ной профилактики модели ЭВМ — показывает отношение числа отказов, выявленных в процессе профилактики к суммарному числу отказов, выявлен­ных в процессе профилактики и во время эксплуатации до следующей профилак­тики. Коэффициент эффективности профилактики определяется по формуле

(15.75)

где — количество отказов, выявленных в процессе профилактики; п_ат — количество отказов, возникших при решении задач.

Расчет аппаратурной надежности проектируемой региональной сети

Проектируемая региональная сеть состоит из центрального узла (ЦУ) и связанных с ним по схеме типа ’’звезда’’ 43 периферийных узлов связи (ПУ), к которым подключаются абоненты. Назовем контуром обслуживания совокупность оборудования, включая линии связи, принимающую участие в осуществлении обмена (согласно принятого протокола) между ЦУ и любым ПУ.

Предполагаем, что все компоненты сети являются изделиями, которые в процессе эксплуатации могут находиться в 2-х состояниях по работоспособности: работоспособном и неработоспособном (отказ). При отказе компонента происходит его восстановление путем замены отказавшего запасным

Сеть, в целом, кроме указанных двух состояний может находиться в состояниях частично неработоспособных (частичный отказ). Под частичным отказом для сети будем понимать невозможность осуществления обмена информацией, хотя бы по одному контуру обслуживания.

Для таких изделий в качестве показателя надежности рекомендуется использовать К_эф- коэффициент сохранения эффективности, который определяется как отношение эффективности системы с учетом отказов аппаратуры- Е к эффективности полностью работоспособности системы- Е₀:

(1)

В качестве показателя эффективности сети принимается математическое ожидание вероятности (средняя вероятность) выполнения заявки на предоставление интегрированных услуг сети - Р_ср. Приведем окончательную формулу для определения коэффициента сохранения эффективности сети:

(2),

где К_эф-j - коэффициент сохранения эффективности j контура обслуживания (i = 1, …,43);

W_j- относительное количество заявок, обслуживаемых j контуром в общем потоке заявок при полностью исправной системе. Формула (2) показывает, что каждый j контур обслуживания сети вносит свою независимую долю Е_jв общую эффективность сети Е. С учетом (2), проведен расчет коэффициента К_эфjдля типовых контуров обслуживания, которые включают в себя аппаратуру, установленную на ПУ, каналы связи и соответствующую часть аппаратуры ЦУ.

Для каждого контура обслуживания построена схема структурной надежности (ССН) и вычислены

(3)

где К_эij– коэффициенты сохранения эффективности i элемента, находящегося в j контуре обслуживания. Для элементов, имеющих только два состояния: работоспособное и отказ - К_эij определяется через коэффициент готовности К_гij.

Полученные данные свидетельствуют о высоком уровне аппаратурной надежности проектируемой сети

7. Резервирование как марковский процесс. До сих пор рас­сматривались системы, в которых каждый элемент функционирует независимо от состояний других элементов (горячий резерв). Иначе говоря, не делается никаких различий между основными и резерв­ными элементами, и вероятность отказа любого из них определяется только интенсивностью отказов. Более сложные условия имеют место, когда резервное оборудование включают только при отказе дублируемого им элемента, а сам резервный элемент до этого не функционирует (холодный резерв), или же находится в состоянии го­товности (облегченный резерв). При холодном резервировании отказ резервного элемента до его вступления в работу не может насту­пить, а при облегченном резервировании интенсивность отказов резервного элемента до его введения в рабочий режим ниже, чем при функционировании взамен отказавшего элемента.

Анализ надежности резервированных систем в подобных слу­чаях требует рассмотрения процесса замещения отказавших эле­ментов во времени. Эта задача упрощается, если исходить из гипо­тезы о пуассоновском распределении отказов, и сводится к рас­смотрению марковских процессов с дискретными состояниями и не­прерывным временем. Предполагается, что система переходит из одного состояния в другое мгновенно при наступлении отказа и включении резервных элементов. Переключатель либо считается абсолютно надежным, либо рассматривается как постоянно функцио­нирующий элемент системы с экспоненциальным распределением отказов.

Надежность системы без восстановления отказавших элемен­тов с течением времени стремится к нулю, поэтому такие системы являются существенно нестационарными (предельный режим озна­чает просто выход из строя системы). Для систем с восстановлением представляет интерес и стационарный режим, который характери­зует динамическое равновесие потоков отказов и восстановлений.

Пусть в системе имеется один основной и n— 1 элементов, на­ходящихся в холодном резерве. Обозначим, как и ранее, через pt надежностьi-ro элемента (i= 1, 2, ... ,n).

Основной элемент, проработав некоторое случайное время выходит из строя, и на его место становится первый резервный эле­мент, который работает случайнее время, и т. д. Последний ре­зервный элемент, проработав случайное время, тоже выходит из строя, а с ним выходит из строя и вся система.

Пусть надежности элементов подчинены экспоненциальному за­кону, т. е.. Тогда надежность всей системы определя­ется приближенным выражением

которое справедливо при малых интенсивностях отказов . Это выражение дает ясное представление о выигрыше, которого можно добиться, применяя холоднее резервирование (сравните с (5)).

Рассмотрим теперь систему, состоящую из одного основного и n—1 резервных элементов, находящихся в облегченном резерве.

Предположим, что надежности элементов и в рабочем и в нерабо­чем состоянии подчиняются экспоненциальному закону и надежность элемента в рабочем состоянии не зависит от времени пребывания его в нерабочем состоянии. Пусть также надежности всех элементов одинаковы. Обозначим интенсивность отказов элемента в облегчен­ном режиме через , а в рабочем — через. При этих условиях для надежности системы можно получить приближеннее выражение

которое справедливо при высоких надежностях элементов.

Ниже приводятся характерные примеры, иллюстрирующие

применение теории марковских про­цессов к анализу надежности систем. Если потоки отказов не являются пуассоновскими, то задача усложня­ется, хотя часто немарковский про­цесс можно свести к марковскому уве­личением числа состояний системы. 8. Включение резервного элемента замещением. Рассмотрим холодное резервирование элемента А путем его замещения элементом В с помо­щью переключателя S. В зависимости от того, какой из этих трех элементов выходит из строя, система может нахо­диться в одном из шести состояний, для которых граф системы показан на рис. 291 (означают отказы элементов, а- интенсивности отказов). Система может функционировать только в трех состояниях: 1), 2), 3), а остальные состояния соответствуют отказу системы, из которых она может выйти только путем восстановления оборудования. Считая систему невосстанавливаемой и полагая, записываем урав­нения Колмогорова для рабочих состояний:

Решая эти уравнения при начальных условиях получаем:

Надежность системы равна сумме надежностей ее рабочих со­стояний, т. е.

Если отказы переключателя практически исключаются (), то. В сложных системах резервируемую замещением часть можно выделить и определить отдельно ее надеж­ность, а затем определить надежность всей системы изложенными ранее методами. Пусть, например, искусственный спутник обору­дован двумя передатчиками, один из которых резервный. Отказ системы означает потерю радиосвязи и возникает при выходе из строя обоих передатчиков (X) или при наличии радиопомех из-за солнечной активности (Y). Если— интенсив­ность отказов радиопередатчиков, то. При интенсивности радиопомехверо­ятность того, что за времяtпомехи не возникнут равна. Поэтому надежность системы.

9. Система с облегченным резервом. Пусть основной элемент А при отказе заменяется ре­зервным элементом В, причем интенсивность отказов работающего элемента равна К. а интенсивность отказов резервного элемента до его включения . Граф состояний системы показан на рис. 292, а уравнения Колмогорова имеют вид:

Решая эту систему при начальных условиях имеем:

Надежность системы определяется как сумма надежностей ее рабочих состояний, т. е.

При этот результат совпадает со случаем холодного резервирования при абсолютно надежном переключении (8).

10. Восстанавливаемые системы. В специальной литературе рассмотрено много разнообразных задач, относящихся к восстанавливаемым системам. Они имеют много общего с замкнутыми системами массового обслуживания (5. 11), причем интенсивность восстановления \л, как и интенсивность обслуживания (5. 5), обыч­но принимается постоянной, а поток отказов рассматривается как входящий поток.

Пусть, например, восстанавливаемая система состоит из двух параллельно работающих устройств. Она может находиться в трех состояниях: 1) оба устройства работают; 2) одно устройство рабо­тает, другое ремонтируется; 3) оба устройства ремонтируются (отказ системы). Граф системы показан на рис. 293, а, а система дифференциальных уравнений имеет вид:

При нулевых начальных условиях р1(0) =1; р2(01 — р3(0) = О находим следующее решение:

Готовность системы A(t) определяется вероятностью того, что система в некоторый момент времени t находится в рабочем состоянии. Для рассматриваемого примера такими состояниями являются 1 и 2, поэтому

В стационарном режиме (при ) готовностьAозначает долю времени, в течение которого система готова к действию, и на­зывается коэффициентом готовности. Для нашего примера

Коэффициент готовности А можно определить решением систе­мы алгебраических уравнений (одно из них лишнее)

совместно с нормировочным условием .

Надежность восстанавливаемой системы, т. е. вероятность от­сутствия отказа в течение интервала времени t, определяется при условии, что система не возвращается из состояния отказа в рабо­чее состояние. Иначе говоря, учитываются лишь те процессы восста­новления, которые не нарушают функционирования системы (рис. 293, б). Дифференциальные уравнения для определения функ­ции надежности принимают вид:

.

Решив эти уравнения, найдем функцию надежности как сумму надежностей в состояниях 1 и 2, т. е..

4. Простая (нерезервированная) система. Рассмотрим систему, в которой отказ каждого элемента происходит независимо и при­водит к отказу всей системы. В смысле надежности ее можно представить как последовательное сое­динение элементов (рис. 286), хотя физически они могут быть соединены как угодно. В соответ­ствии cправилом умножения вероятностей для независимых событий

Рис 286 Последовательное резервирование элементов (простая схема).

Вероятность безотказной работы системы p(t) равна произведению вероятностей pt безотказной ра­боты ее элементов (г = 1, 2, ..., п). Используя выражения для pi из (2), имеем

Отсюда следует, что интенсивность отказов простой системы равна сумме интенсивностей отказов ее элементов, т. е.

Рассмотрим простое устройство, состоящее из двух частей, причем одна из них имеет экспоненциальное распределение () , а другая характеризуется интенсивностью отказов

. Тогда

При экспоненциальном распределении интенсивность отказов простой системы , где ni исоответственно количество и интенсивность отказов элементов данного типа. Среднее время безотказной работы

Пусть, например, усилитель промежуточной частоты радио­приемника содержит следующий набор компонентов: резисторы (= 50;= 0,30), конденсаторы (= 75;= 0,33), подстроечные конденсаторы (= 14;— 0.20), усилительные электрон­ные лампы (= 8,= 0.12), мощные электронные лампы (= 2;= 0,14), трансформаторы (= 8;= 0,30), реле (= 2;= 0,50), дроссели (= 20;= 0,30), разъемы (= 2;= 0,20), где интенсивности отказов компонентов даны вотказов/час. Рассматривая усилитель как простую систему, найдем для него интенсивность отказов= (50 • 0,30 + 75 • 0,33 + 14 • 0,20+ 8 • 0,12 + 2 • 0,14 + 8 • 0,30 + 2 •0,50 + +20•0,30 + 2•0,20)*10^-5= 53,59 • 10^-5отказов/час. Среднее время безотказ­ной работычас. Вероятность безотказной работы усилителя в течение 100 час. равна

Выполнив аналогичные расчеты для всех блоков радиоприем­ника, можно найти его вероятностные характеристики.

5. Резервирование системы. Простейший способ резервирования заключается в параллельной работе элементов(горячий резерв), что соответствует их параллельному соединению (рис. 287). Отказ системы наступа­ет только при отказе всех элементов. Если pi — надежность /-го элемента (i = 1, 2, ..., л), то его ненадежность выражается как 1—pi. Следовательно, ненадежность системы, а надежность

Пусть все элементы характеризуются постоянной интенсивнос­тью отказов, т. е.(i=1, 2, …п); тогда

Рис 287 Параллельное соединение элементов системы (резервированная система)

Рис 288 резервирование с помощью переключателей.

Если ввод резервного элемента производится с помощью пе­реключателя(рис. 288), то общая надежность резерва, надежность системы

Эффективность резервирования на различных уровнях можно проиллюстрировать следующим простым примером. Пусть система состоит из двух последовательных блоков и(рис 289, а)

Рис. 289. Резервирование на различных уровнях: а — исходная система; б — резервирование всей системы; в — резер­вирование блоков

с надежностями и. Общая надежность системы без резер­вирования. При резервировании всей системы (рис. 289, б) ее надежность. Если же резервировать отдельные блоки (рис. 289, в), то. Разностьвсегда положительна, так каки, следовательно,Р" > Р', т. е. эффективнее всего резервирование на самом низком _ уровне. Этот вывод справедлив для невосстанавливаемых систем, если в качестве показателя надеж­ности принята вероятность безот­казной работы.

6. Надежность сложных систем. Приведенные результаты легко распространяются на более слож­ные структуры, которые можно представить в виде последователь­но-параллельного соединения эле­ментов. Надежность систем произвольной структуры с конечным числом состояний просто определя­ется с помощью алгебры событий (1. 7).

Отказ рассматривается как событие, нарушающее работоспо­собность элементов или системы, и ему приписывается значение 0. Отсутствие отказа означает работоспособность, которому соответ­ствует значение 1. Каждый элемент, как и система в целом, может находиться в одном из двух положений, и в этом смысле они харак­теризуются логическими переменными, которые способны принимать значения 0 или 1. Условие надежной работы (или отказов) системы обычно можно установить из блок-схемы, отражающей реальные связи между элементами, или из описания ее функционирования. Это условие можно представить в виде логической функции, которая получается либо непосредственно из описания функционирования, либо путем анализа графа системы.

Пусть, например, резервированная система задана блок-схе­мой (рис. 290, а), которой соответствует ориентированный граф (рис. 290, б). Матрица непосредственных связей графа (5. 3. 6) имеет вид:

Р=	1	2	3	4	5
	1	А	В	С		1
		1	1	1		2
			I		D	3
				1	Е	4
						5

Р(2, 3) =	1	4	5
	1	А V С	(Л V В) D	1
		1	Е	4
			1	5

Р(2,3,4)=	1	5
	1	(АVB)DV(AVC)E	1
		1	5

Последовательным исключением узлов 2, 3 и 4 (5. 3. 7) приводим ее к матрице полных связей относительно узлов 1 и 5:

Р(2)=	1	3	4	5
	1		А С		1
		1		D	3
			1	Е	4
				1	5

Таким образом, логическая функция, определяющая условие функционирования, имеет вид (АVB)DV(А V С)Е. К этому же результату можно прийти путем последовательного преобра­зования ориентированного графа (рис. 290, в).

Следующий шаг заключается в приведении логической функ­ции к каноническому многочлену по правилам алгебры событий: (А VВ) DV(А VC) Е = (А + В - AB) D + (А + С –AС) Е - (А +В – АВ)(А + B-AC)DE = AD + BD + АЕ + СЕ - (ABD+ АСЕ +ADE) -BCDE+ABCDE.

Наконец, замещая каждую переменную соответствующими функ­циями надежности, получаем выражение для надежности системы:

Если все элементы характеризуются экспоненциальными зако­нами надежности с одинаковыми интенсивностями отказов , то

Рассмотрим другой пример, когда условия безотказной работы заданы описанием функционирования. Пусть в системе, состоящей из четырех элементов Л, В, С, D, отказ может наступить только при отказе не менее двух ее элементов, причем система сохраняет работоспособность при следующих комбинациях двух отказав­ших элементов: (А, В), (A, D), (С, D). Логическая функция надеж­ного функционирования получается в виде: ABCD V ABC V ABD V ACD V BCD \/ CD V BC V AB = CD V BC \/ AB. Ей соответствует канонический многочлен (CD + BC — BCD) + AB — (CD + BC — BCD)AB = AB + BC + CD — BDC — A BC. Если все элементы характеризуются одинаковыми интенснв-ностями отказов , то надежность системы

Сложные системы обычно бывают восстанавливаемыми (вводят профилактику), и поэтому целесообразнее говорить об эффектив­ности сложных систем, а не о их надежности. В качестве критериев эффективности может использоваться, например, вероятность нор­мального функционирования, определяемая произведением вероят­ности безотказной работы на коэффициент готовности системы.