Лекция №11

Понятие проблемы разрешимости

Определение. Формула называется тождественно истинной, если она при всех значениях, входящих в неё переменных, принимает значение «1».

Примеры:

Определение. Формула называется тождественно ложной, если при всех значениях входящих в неё переменных принимает значение «0»

Определение. Формула называется выполнимой (нейтральной), если она не является тождественным 0 или 1 (0v1), т.е. она принимает значение «1» при некоторых значениях входящих в неё переменных.

Для каждой формулы можно выяснить, является ли она выполнимой (равна ли она тождественному 0 или 1). Поставленная задача носит название проблемы разрешимости.

Пусть – формула, определяющая некоторую функцию от n переменных:. Как переменные , так и функция F могут принимать лишь два значения, число же возможных комбинаций значений переменных конечно и равно 2n. Для каждой такой комбинаций можно определить значение формулы F, тем самым, определяется выполнима ли функция или нет.

Изложенный способ при большом количестве переменных практически неосуществим из-за огромного числа возможных наборов значений переменных

Существует другой способ, основанный на приведении формул к так называемой «нормальной форме». Синтез комбинационной схемы по существу сводится к определению булевого выражения для заданной ПФ.

Дальнейший переход от булевого выражения к системе является однозначным. Вводятся выражения определенного типа, называемые каноническими формами, а затем формируются достаточно простые правила записи любой функции в этих формах. В качестве канонических форм обычно используются СДНФ и СКНФ.

2

Нормальные и совершенные нормальные дизъюнктивные функции (ДНФ и СДНФ)

Выражение вида называется элементарной конъюнкцией.

Определение. Логическое произведение любого количества различных независимых переменных (букв), входящих с отрицанием или без него, называется элементарной конъюнкцией.

– элементарная конъюнкция, r – ранг элементарной конъюнкции и при .

Если функция задана формулой в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций, то это дизъюнктивная нармальная форма (ДНФ):

Конституентой единицы (минтермом) называют переключательную функцию n аргументов, которая принимает значение, равное 1 только на одном кортеже аргументов. Число различных конституент единицы среди функций п аргументов равно числу различных кортежей - наборов, т.е. равно 2n. Согласно таблицы, конституентами единицы являются .

Утверждение. Любая таблично заданная функция алгебры может быть представлена в виде:

где – элементарная конъюнкция ранга n;

i – номера наборов, на которых функция равна 1;

– символ обобщённой дизъюнкции.

Определение. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) переключательной функции называется дизъюнкция тех конституент единицы, которые обращаются в единицу на тех же наборах, что и данная функция.

Любая ПФ имеет одну СДНФ (а количество ее членов равно количеству единичных значений функции) и несколько ДНФ. Любая ДНФ получается в результате большего или меньшего сокращения СДНФ и от любой ДНФ можно перейти к СДНФ. Такой переход называется развертыванием.

Например,

3

Свойства совершенной нормальной формы (СДНФ)

Определение. Совершенная ДНФ формула , содержащая различные переменные, называется дизъюнктивной нормальной формой, обладает следующими свойствами:

1.в ней нет одинаковых слагаемых;

2.ни одно из слагаемых не содержит двух одинаковых множителей;

3.никакое слагаемое не содержит переменную вместе с её отрицанием;

4.в каждом отдельном слагаемом содержится в качестве множителя либо переменная либо её отрицание для любого i=1,2,…,n.

4

6

7

8

9

10