Лекция №2
Тема лекции: Множества.
Содержание:
1.Основные понятия и определения.
2.Способы задания множеств.
3.Пустое множество.
4.Операции над множествами.
5.Универсум множества.
6.Свойства множеств.
7.Множество подмножеств.
8.Алгебра множеств.
9.Обобщение операций над множествами.
1
Основные понятия теории множеств
Множество – объединение объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью, в единое целое. Георг Кантор.
«Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств» Н. Бурбаки.
Объекты, образующие множество, называются элементами множества.
Обозначение конкретных множеств таково:
Обозначение элементов множеств:
Примеры множеств:
Множество натуральных чисел.
Множество цифр десятичной системы.
Множество цифр двоичной системы.
Множество чётных чисел.
Множество страниц книги.
Множество студентов университета.
2
Способы задания множеств
1.Вербальный (словесный) – путём описания характеристических свойств, которыми должны обладать элементы множеств. Например, «множество цифр двоичной системы».
2.Задание списком (перечислением) всех элементов. Даётся в фигурных скобках.
3.Предикатный (высказывательный, порождающий). Задаётся с помощью предиката, т.е. множество задаётся в виде {x:P(x)} или {x| P(x)}, где Р(х) принимает значение «истина» для элементов множества.
{1,2,3,…}={x|x – натуральное число} {0,1,2,…,9}={x|x – цифра десятичной системы} {0,1}={x|x – цифра двоичной системы} {2,4,6,…}={x|x – чётное число}
4. Анатомический – с помощью аналитического выражения, формулы. (x принадлежит множеству S)
(x – не принадлежит множеству S)
- символ принадлежности элемента к множеству.
3
Пустое множество
Множество, которое не содержит элементов, пустое . S={x|x – нечётное число, делящееся на 2}=
Пустое множество – совокупность объектов, ни один из которых не принадлежит множеству .
Для любого А справедливо
Множество в множество А.
4
Операции над множествами
Объединение А и В () – это множество, состоящее из всех элементов множества А, всех элементов множества В и не содержащее никаких других элементов, т.е. , где знак обозначает логическую операцию конъюнкция (логическое «и»).
Пересечение А и В () – это множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно множеству А и множеству В, т.е. , где знак "обозначает логическую операцию дизъюнкция" ("логическое или" ).
5
Операции над множествами 2
Разность А и В (относительное дополнение) – это множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В, т.е.
Дизъюнктивная сумма А и В (или симметричная разность) – это множество, состоящее из всех элементов А, не принадлежащих В, а так же всех элементов В, не принадлежащих А, и не содержащее накаких других элементов, т.е.
6
Универсум
Совокупность всех допустимых объектов называется основным множеством (универсумом) и обозначается U.
Универсум U арифметики – числа, универсум U зоологии – животные и т.д.
Любое множество будем рассматривать в связи с универсумом, который на кругах Эйлера будем ассоциировать с прямоугольником на плоскости, внутри которого будем изображать множества
Новая операция (абсолютное дополнение А) – это множество, которое содержит все элементы универсума. За исключением элементов А.
7
Множество подмножеств
Определение. Множество А называется подмножеством В, если каждый элемент А является элементом В.
Для обозначения этого факта вводится значок «» - символ включения (или «») другими словами .
Определение. Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов А=В.
Определение. Множество, элементами котрого являются все подмножества множества
А, называют множеством подмножеств (множеством |
- степенью) |
множества А и |
||||
обозначается |
Р(А). |
Так, |
для |
трехэлементного |
множества |
имеем |
8
|
Основные свойства операций над множествами |
Коммутативный закон |
АВ=ВА |
|
АВ = ВА |
|
А (ВС) = (АВ)С |
Ассоциативный закон |
А (ВС) = (АВ)С |
А (ВС) = (АВ) (АС) |
|
|
А (ВС) = (АВ) (АС) |
|
А = А |
Дистрибутивный закон |
А = А |
А=U |
|
|
А = 0 |
|
АU =U |
|
А = |
|
= U |
|
= |
|
АА = А |
|
АА = А |
|
А (АВ) = А |
|
А (АВ) = А |
|
= |
|
= |
|
= А |
Закон идемпотентности |
|
(самопоглощения) |
|
Закон поглощения |
9 |
Основное содержание лекции
Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств.
Н. Бурбаки
10