Лекция №12

Нормальные и совершенные нормальные конъюнктивные формы переключательных функций

Определение. Логическая сумма любого количества различных независимых переменных, входящих с отрицанием или без него, называется элементарной дизъюнкцией:

По аналогии с предыдущим пунктом - элементарная дизъюнкция, r - ранг элементарной дизъюнкции.

Если функция задана формулой в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций, то, следовательно, функция представлена конъюнктивной нормальной формой (КНФ):

Любая переключательная функция может быть задана и своей совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ). Для этого используется конституенты нуля - макстермы.

Конституентой нуля (макстермом) называют переключательную функцию n аргументов, которая принимает значение, равное 0 только на одном наборе. Имеется 2n конституент нуля. Согласно таблицы, конституентами нуля являются .

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) переключательной функции называется конъюнкция тех конституент нуля, которые обращаются в нуль на тех же кортежах (наборах) значений аргументов, что и данная функция.

2

Свойства СКНФ

Совершенная КНФ удовлетворяет следующим условиям:

a)в ней нет двух одинаковых множителей;

b)ни один из множителей не содержит двух одинаковых слагаемых;

c)ни один множитель не содержит каких-нибудь переменную вместе с ее отрицанием;

d)каждый множитель содержит в качестве слагаемого или для любого i=1, 2, ...,n

3

Свойства совершенных форм СКНФ и СДНФ

1.Однозначное представление функции, дают только совершенные нормальные формы (СДНФ и СКНФ).

2.В СДНФ (СКНФ) нет двух одинаковых минтермов (макстермов).

3.В СДНФ (СКНФ) ни один минтерм (макстерм) не содержит двух одинаковых множителей (переменных).

4.В СДНФ (СКНФ) ни один минтерм (макстерм) не содержит вместе с переменной и ее отрицание.

Любая функция алгебры логики, кроме абсолютно истинной и абсолютно ложной функции,

может быть представлена в совершенной (СКНФ и СДНФ) форме.

где - символы обобщённой конъюнкции и дизъюнкции конституэнт нуля и единицы соответственно.

4

Переход от табличного представления переключательной функции к алгебраическому (для СКНФ).

Алгебраическое выражение функции (для СКНФ) получается в виде произведения:

где и – значение функции и макстерм, соответствующие i-тому набору переменных. Получаем СКНФ в виде:

Если в выражениях и вместо использовать инверсии значения функции, то получается СДНФ и СКНФ для функции, являющейся инверсией заданной.

Так осуществляется переход от таблицы истинности к алгебраическому представлению логической функции, и любая логическая функция может быть представлена в виде СДНФ и СКНФ.

6