Фізика / Лекции / Квантова ф_зика / 5-5

Херсонський державний технічний університет Кафедра загальної та прикладної фізики

КВАНТОВА ФІЗИКА Лекція 5.5. Елементи зонної теорії

	5.5. ЕЛЕМЕНТИ ЗОННОЇ ТЕОРІЇ
	Енергетичні рівні вільних атомів
	Заповнення енергетичних зон: метали, напівпровідники, діелектрики
Ефективна маса зонних електронів

• Енергетичні рівні вільних атомів

Розглянемо взаємодію електронів у твердих тілах на прикладі кристалів найбільш уживаного в електроніці напівпровідникового матеріалу : кремнію (). Кремній має 14 електронів та дві можливі електронні конфігурації:

(5.5.1)

або основну електронну конфігурацію;

(5.5.2)

конфігурація так званого -гібриду, в якій один з електронів оболонки переходить до - оболонки

(5.5.3)

Під час квантового переходу (5.5.3), який має назву „-промотування”, електрон змінює на одиницю два квантових числа . Атомний кор (серцевина атому) однакова у цих станах, проте валентні стани дещо розрізняються. В гібридизованому стані кремній, вочевидь, є чотирьохвалентним.

На Мал.5.5.1 у верхній частині зображені енергетичні рівні валентних електронів атому в стані - гібридизації. Енергія невиродженого - рівня з одним валентним електроном лежить дещо нижче від енергії тричі виродженого -стану, в якому три стани (з шести можливих) зайняті валентними електронами.

Розглянемо взаємодію поміж атомами в кристалі, де кожен атом оточений чотирма ідентичними атомами по кутах тетраедра, зображеного на Мал.5.5.1. Розглянемо в такій “молекулі” лише найкоротші ковалентні парні зв’язки поміж найближчими сусідами (чорні стрілки), нехтуючи зв’язками з більш віддаленими сусідами (сірі пунктирні стрілки). Кожен з пари атомів „молекули” надає по чотири електрони на кожний із своїх чотирьох зв’язків, отже, кожен із таких зв’язків обслуговується парою електронів і пов’язує пару атомів. Електронна пара на зв’язку поміж парою атомів (чорні стрілки, зв’язок є спрямованим) є спільною парою, ця пара електронів є ніби „колективною” для пари атомів, які вона пов’язує, причому тільки для цієї пари атомів (насиченість зв’язку). Електронна пара не є зміщеною до одного з атомів (гомеополярність зв’язку), а напрям спінів в такій парі – протилежний, антипаралельний: .

Кожен атом має навколо себе оболонку з чотирьох таких пар, отже стабільну електронну конфігурацію з восьми електронів типу: , хоча треба пам’ятати, що кожна пара з цих електронів є спільною з іншим атомом кристалу.

Валентні електрони, які пов’язують атоми в кристалі в єдину структуру, якщо її розглядати як „супермолекулу”, є ферміонами, причому взаємодіючими поміж собою ферміони, як ми переконалися з розгляду кластеру, наведеного вище. Як ферміони валентні електрони кристалу повинні підкорятися принципу Паулі і кожен з них мусить перебувати в індивідуальному квантовому стані, зокрема ці стани повинні хоч би і незначно, а все-таки розрізнятися між собою за енергією. Тому дискретні енергетичні стани, які формують лінійчатий спектр в атомі кремнію, повинні розширюватися в певні енергетичні смуги (зони), які складатимуться з великої кількості близько розташованих, але індивідуальних для кожного електрону енергетичних рівнів (Мал.5.5.2). Поміж зонами дозволених енергій розташовані енергетичні смуги, де немає енергетичних рівнів (зони заборонених енергій). Отже, спектр енергії електронів у кристалах, на відміну від лінійчатого атомного спектру, є смугастим зонним спектром.

Кожна енергетична зона містить однакову кількість енергетичних рівнів, має мінімальний рівень ( дно зони з номером ), максимальний рівень ( вершина зони), проте різну енергетичну ширину . Різною є також ширина заборонених зон поміж енергетичними зонами. На кожному енергетичному рівні в межах однієї енергетичної зони можуть розміщатися максимум два валентних електрони, квантові числа яких розрізняються лише за напрямом спіну: ().

• Заповнення енергетичних зон: метали, напівпровідники, діелектрики

Кожна спільна пара електронів, що здійснює в кристалі окремий зв’язок між парою атомів, має безліч еквівалентних собі електронних пар в кристалі і разом з ними всіма утворює окрему енергетичну зону. Отже, кількість повністю заповнених валентними електронами енергетичних зон у кристалі дорівнює просто кількості таких різних електронних пар в розрахунку на одну елементарну комірку кристалу. В кристалі кремнію, наприклад, таких пар є чотири, як це видно з Мал.5.5.1. Тому в кристалах типу кремнію, матимемо чотири заповнених валентних зони при нульовій температурі, як це зображено на Мал.5.5.2. Найвищу за енергією заповнену валентними електронами зону прийнято називати валентною зоною, а найнижчу за енергією пусту, незаповнену енергетичну зону – зоною провідності. Енергетичний зазор поміж вершиною валентної зони та дном зони провідності називають шириною забороненої зони кристалу:

(5.5.3)

Припустимо, що в якомусь кристалі є непарна кількість валентних електронів на елементарну комірку. Така кількість валентних електронів не може заповнити цілого числа енергетичних зон і тому найвища із заповнених валентних зон буде наполовину заповнена, а наполовину пуста. Аналогічна ситуація виникне і у такому випадку, коли заборонена зона поміж валентною зоною та зоною провідності (Мал.5.5.3) зникне, тобто зони торкнуться, або перетнуться поміж собою. І у такому випадку утворюється об’єднана енергетична зона. Яка містить як заповнені, так і пусті енергетичні рівні.

Згідно до зонної теорії провідності по такій зоні провідність можлива вже при нульовій температурі. Така ситуація характерна для речовин, які отримали назву металів. Енергетична діаграма виглядає як на Мал.5.5.3 . Стрілками показані можливі переходи електронів з нижчих заповнених енергетичних рівнів до вищих, пустих. Можна вважати, що у металах немає забороненої зони () поміж валентною зоною та зоною провідності, тому процес енергетичної активації носіїв струму має нульовий потенційний бар’єр і можливий при будь-якій температурі. Кількість та концентрація вільних електронів в зоні провідності металів не залежить від температури і є однаковою при будь-якій температурі.

Поміж напівпровідниками та діелектриками принципової різниці немає. Діелектрики від напівпровідників відрізняються лише більшими значеннями ширини забороненої зони . Проте чіткого кордону поміж цими речовинами немає. Енергетична діаграма напівпровідника/діелектрика виглядає як на Мал.5.5.4. Пресс провідності у цих речовинах потребує певної енергетичної активації (більшої для діелектриків, меншої для напівпровідників). Для створення струму в напівпровідникові, або діелектрикові треба спочатку активізувати електрони з валентної зони до зони провідності. На кожний такий перехід (сіра стрілка) витрачається енергія , яка може підводитися до кристалу різними шляхами, зокрема, й за рахунок нагрівання кристалу.

Концентрація електронів в зоні провідності напівпровідника дорівнює концентрації дірок (пустих енергетичних рівнів) у валентній зоні, якщо активація йде з однієї зони до іншої. Концентрація, на відміну від випадку металів, залежить від температури, причому вона тим більша, чим більша температура. Можна показати, що залежність є сильною, експоненціальною.. Провідність у цьому випадку є сумою провідностей по зоні провідності (електронної), та по валентній зоні (діркова). Отже, у напівпровідниках є два типи носіїв заряду: негативно заряджені електрони у зоні провідності та позитивно заряджені дірки у валентній зоні. Оскільки концентрація носіїв росте з температурою по експоненціальному закону, то так само швидко росте з температурою і провідність напівпровідників. Натомість питомий опір напівпровідників так само стрімко падає з температурою, на відміну від металів, де він лінійно росте з температурою.

• Ефективна маса зонних електронів

Електрон у зоні провідності більше не є пов’язаним з конкретною атомною парою, на відміну від валентних електронів, які здійснюють парні ковалентні хімічні зв’язки. Такі електрони є вільними і можуть вільно пересуватися по кристалу, якщо тільки такий вільний електрон не захопить одна з дірок („дірка” – термін, який позначає електронну вакансію в парі електронів, яка здійснює зв’язок поміж атомами, або пустий енергетичний рівень у валентній зоні; дірка, зрозуміло, має позитивний заряд).

Вільні електрони можна розглядати як вільні квантові частинки, проте було б неправильно приписувати їм таку саму масу покою, як електронам у вакуумі, тобто кг. Хоча б тому, що електрони провідності є локалізованими у кристалі і лише після виходу з нього можуть вважатися абсолютно вільними. В межах кристалу вільні електрони взаємодіють з атомами кристалічної гратки, з іншими електронами, іншими збудженнями в кристалах, тощо. Тому динаміка руху, а звідси і маса, для електрону провідності у кристалі відрізняються від динаміки та маси електрону у вакуумі (звичайно у сторону меншої маси): .

Дірка у валентній зоні також може пересуватися по кристалу, відбираючи електрон у найближчої комплектної пари валентних електронів. Зрозуміло, що дірка має позитивний заряд і на відміну від електронів провідності пересувається уздовж силових ліній зовнішнього електричного поля, а не проти них. Ефективна мас дірки не співпадає з ефективною масою електронів провідності (звичайно вона є помітно більшою): .

В межах енергетичної зони провідності, як і у межах валентної зони залежність енергії електронів та дірок від їх імпульсів , або так звані закони дисперсії є досить складними. Проте, поблизу від дна зони провідності, або поблизу від вершини валентної зони ізотропних кристалів, вони є майже такими, як для вільної квантової частинки, тобто параболічними:

(5.5.5)

де, на відміну від маси абсолютно вільних електронів , у знаменнику стоять ефективні маси електронів , або дірок .

Факультет машинобудування
Лектор Дон Н.Л.		стор. 5 з 5