|
Херсонський державний технічний університет Кафедра загальної та прикладної фізики |
КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ Лекція 4.2. Електромагнітні коливання |
|
|
|
|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2.
ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ КОЛИВАННЯ-
Вільні коливання в контурі без активного опору
Е
лектромагнітні
сигнали розповсюджуються по електричним
ланцюгам та колам з надзвичайно великою
швидкістю:
м/с – швидкістю світла у вакуумі. Якщо
за час розповсюдження електромагнітного
поля у найвіддаленішу точку електричного
контуру (
)-
-
миттєве значення змінного струму
практично не змінилося, іншими словами
,
такий змінний струм (або змінна ЕРС,
змінна напруга) в електродинаміці
називається квазістаціонарними. Очевидна
умова квазістаціонарності змінного
струму, період коливання якого дорівнює
,
така:
,
звідки випливає, що
|
|
(4.2.1) |
Характерні
розміри коливальних контурів, якими
користуються, припустимо, в радіотехніці
та телебаченні, не перевищують кількох
метрів, отже
м . За таких розмірів для частот змінних
струмів менших
Гц. критерій квазістаціонарності (4.2.1)
можна вважати виконаним.
Коливальним
контуром без активного опору називають
електричне коло, яке складається з
котушки
та конденсатору
,
якщо опором
провідників
можна знехтувати.
Індуктивність котушки можна визначити
користуючись формулою для соленоїду,
отриманою на минулій лекції:
|
|
(4.2.2) |
де
- добуток площі перерізу на довжину
котушки. Ємність плоского конденсатора
можна визначити за формулою:
|
|
(4.2.3) |
де
-
добуток площі пластин на відстань поміж
ними.
Для збудження коливань в контурі необхідна наступна послідовність дій:
-
Зарядити конденсатор від стороннього джерела, після чого відімкнути це джерело. На конденсаторі накопичиться заряд
,
енергія
,
між обкладинками виникне електричне
поле з напруженістю
. -
Від’єднати стороннє джерело та замкнути ключ
.
Конденсатор почне розряджатися, в
контурі виникне змінний струм
,
на котушці індуктивності почне виникати
змінна ЕРС самоіндукції
,
енергія котушки почне змінюватися в
часі разом із струмом як
.
В
контурі виникнуть коливання одразу
декількох згаданих нами параметрів:
коливатиметься заряд на обкладинках
конденсатору
,
коливатиметься струм
,
напруга на конденсаторі
та на котушці
,
миттєві значення енергій конденсатора
(енергія електричного поля
)
та котушки (енергія магнітного поля
),
силові характеристики електричного
(вектор напруженості
)поля
конденсатора та магнітного поля (вектор
)
котушки. Під коливаннями ми розумітимемо
періодичну зміну в часі цих характеристик:
якщо
період коливань, то
,
де під
можна розуміти одну з перелічених вище
характеристик контуру.
Знайдемо диференційне рівняння коливань в контурі, користуючись другим правилом Кірхгофа:
|
|
(4.2.4) |
Далі,
користуючись тим, що
перепишемо попереднє рівняння у вигляді:
|
|
(4.2.4) |
де позначено:
|
|
(4.2.5) |
так звана частота вільних коливань (або власна частота коливань) в контурі.
Рівняння (4.2.5) є однорідним диференційним рівнянням другого порядку, в фізиці воно отримало назву рівняння коливального рівняння. Його рішенням є так звані гармонічні коливання, які відбуваються в часі за законом косинуса (або синуса), іншими словами рішення коливального рівняння (4.2.5) мають вигляд:
|
|
(4.2.6) |
де
-
модуль максимального значення заряду
на обкладинках конденсатора (амплітуда
коливань),
- фаза коливань,
- початкова фаза коливань.
Якщо
в момент часу
заряд на обкладинках конденсатора є
максимальним, то
.
Тоді зрозуміло, що за таких умов:
.
Графічне зображення функції (4.2.6) можна
побачити з мал.4.2.2
, де зображено залежність відношення
від часу.
Неважко побачити, що струм в контурі буде змінюватися за законом синуса:
|
|
(4.2.7) |
де
- амплітудне значення струму в контурі,
яке прямо пропорційне амплітудному
значенню заряду.
Ф
ункція
(4.2.7) також гармонічно змінюється в часі,
втім, із зсувом відносно функції (4.2.6)
по фазі і по часу. Дійсно, в момент часу,
коли заряд на обкладинках конденсатору
максимальний (тобто
,
струм в колі дорівнює нулю і навпаки. У
формулі (4.2.7) можна використати також
косинус, якщо пригадати, що
. Таким чином, струм в коливальному
контурі відстає (запізнюється) відносно
коливань заряду на обкладинках
конденсатора за фазою на
.
Оскільки зміна фази на
еквівалентна
зміні часу на період коливань, то зсув
за фазою на
відповідає запізненню в часі на
- чверть періоду.
Маючи вирази для заряду та струму в контурі як функції часу, неважко отримати інші коливальні характеристики електромагнітного контуру, розглянуті вище.