Рудницький В.Б._ Вища матем в правах и задачах

§5. Дослiдження поведiнки функцiї та побудова її графiка

Функцiя y=f(x) називається зростаючою (спадною) на деякому iнтервалi, якщо при x1<x2 виконується нерiвнiсть f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)).

Ознаки зростання та спадання функцiї.

1.Якщо f0(x) ≥ 0 на промiжку [a, b], то функцiя f(x) зростає на цьому промiжку.

2.Якщо f0(x) ≤ 0 на промiжку [a, b], то функцiя f(x) спадає на цьому промiжку.

Функцiя f(x) називається неспадною (незростаючою) на деякому iнтервалi, якщо для будь-яких x1 < x2 з цього iнтевалу f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) ≥ f(x2)). Iнтервали, на яких функцiя не спадає або не зростає, називаються iнтервалами монотонностi функцiї. Точки, в яких перша похiдна функцiї не iснує або дорiвнює нулю називаються критичними.

Точка x0 називається точкою максимуму функцiї y = f(x), якщо для довiльного x iз околу точки x0 виконуюється умова f(x0) ≥ f(x). Точка x0 називається точкою мiнiмуму функцiї y = f(x), якщо для довiльного x iз околу точки x0 виконуюється умова f(x0) ≤ f(x). Точки мiнiмуму та максимуму називаються точками екстремума функцiї.

Необхiдна умова екстремуму. Якщо функцiя f(x) в точцi x0 має екстренум, то похiдна f0(x0) перетворюється в нуль або не iснує.

Достатнi умови екстремуму:

1. Якщо x0 – критична точка функцiї f(x) i для будь-якого достатньо малого h > 0 виконуються нерiвностi f0(x0 − h) > 0, f0(x0 + h) < 0, то функцiя f(x) в точцi x0 має максимум, якщо ж f0(x0 −h) < 0, f0(x0 +h) > 0, то функцiя f(x) в точцi x0 має мiнiмум. Якщо знаки f0(x0−h), f0(x0+h) однаковi, то функцiя f(x) в точцi x0 не має екстремуму.

2. Якщо f0(x0) = 0, f00(x0) 6= 0, то функцiя f(x) в околi точки x0 має екстренум, а саме, максимум, якщо f00(x0)<0, та мiнiмум, якщо f00(x0)<0.

61

Достатня умова опуклостi (вгнутостi) графiка функцiї.

Якщо f00(x)<0 на iнтервалi (a, b), то графiк функцiї опуклий на цьому iнтервалi; якщо ж f00(x)>0, то на iнтервалi (a, b) графiк функцiї вгнутий.

Якщо f00(x0) = 0 та для будь-якого досить малого h > 0 виконуються нерiвностi f00(x0−h) < 0, f00(x0+h) > 0 (або f00(x0−h) > 0, f00(x0+h) < 0), то точка x0 є точкою перегину. Якщо ж f00(x0 −h) i f00(x0 +h) однакового

знаку, то x0 не є точкою перегину.

Аудиторнi завдання

1.Знайти iнтервали монотонностi функцiй: а) y = x4 − 2x2 − 5; б) y = x/(x2 − 6x − 16).

2.Дослiдити на екстремум функцiї: а) y = x − ln(1 + x); б) y = x ln2 x.

3.Знайти точки перегину, iнтервали вгнутостi та опуклостi графiка функцiї y = ln(1 + x2).

4.Знайти найбiльше та найменше значення функцiї

y = 2x3 + 3x2 − 12x + 1 на вiдрiзку [−1; 5].

Домашнi завдання

1.Знайти iнтервали зростання та спадання функцiй: а) y = xe−x; б) y = (2 − x)(x + 1)2.

2.Знайти екстренуми функцiй:

а) y = x4 − 8x3 + 6x2 − 4x; б) y = (1 − x3)/x2.

3.Знайти точки перегину та iнтервали вгнутостi, опуклостi кривих: а) y = (x − 4)5 + 4x + 4; б) y = x4 − 8x3 + 24x2; в) y = xex.

4.Знайти найбiльше та найменше значення функцiй на заданих

62

6. y = (x3 − 9x2)/4 + 6x − 9; 12. y = x2 − 2 ln x.

Знайти точки перегину та iнтервали опуклостi та вгнутостi кривих:

13.y = (10x + 10)/(x2 + 2x + 2), [−1; 2];

14.y = x2 + 4x + x16+ 2 − 9, [−1; 2];

2(x2 + 3)

15. y = −x2 + 2x + 5 , [−5; 1].

§6. Повне дослiдження функцiї та побудова її графiка

Схема повного дослiдження

1.Знайти область визначення функцiї y = f(x).

2.Дослiдити функцiю на парнiсть, непарнiсть та перiодичнiсть.

3.Знайти точки перетину графiка функцiї з осями координат.

4.Дослiдити функцiю на неперервнiсть; знайти точки розриву (якщо вони iснують) та встановити характер розриву, знайти асимптоти кривої y = f(x).

5.Знайти iнтервали зростання i спадання функцiї та її екстремуми.

6.Знайти iнтервали опуклостi та вгнутостi кривої i точки її перегину.

7.Побудувати графiк функцiї.

63

При знаходженнi асимптот користуємось такими означеннями:

а) пряма x = a є вертикальною асимптотою кривої y = f(x), якщо lim f(x) = +∞ або lim f(x) = −∞;

в) пряма y = kx + b є похилою асимптотою кривої y = f(x), якщо iснують границi

Розв’язання. 1. Область визначення x2 − 1 6= 0, x 6= ±1, отже,

x(−∞; −1) (−1; 1) (1; +∞).

2.Дослiджуємо функцiю на парнiсть, непарнiсть та перiодичнiсть:

тобто y = f(x) – парна функцiя. Дана функцiя не перiодична.

3. Знаходимо точки перетину графiка функцiї з осями координат.

то в цих точках маємо розрив другого роду. Тому x1 = −1 i x2 = 1 є вертикальними асимптотами.

64

Таким чином, y = 1 – горизонтальна асимптота.

5. Знаходимо iнтервали зростання та спадання функцiї та її екстремуми.

y0 = 0, якщо −2x = 0, x = 0. Таким чином, маємо три критичнi точки x1 = 0, x2 = −1, x3 = 1. Визначаємо знак похiдної на кожному промiжку.

В точцi x = 0 функцiя змiнює знак з "+" на "−", тому x = 0 є точкою максимуму i ymax = f(0) = 0.

6. Знаходимо iнтервали вгнутостi i опуклостi та точки перегину графiка функцiї

Так як при переходi через точки x1 = −1 i x2 = 1 друга похiдна змiнює знак на протилежний, то цi точки є точками перегину.

7. Будуємо графiк функцiї. Спочатку штрихованими лiнiями наносимо асимптоти, потiм точки екстремуму та перегину i сам графiк (рис.11).

65

66

§7. Функцiї кiлькох змiнних

Бiльшiсть процесiв, якi вiдбуваються в навколишньому свiтi, характеризуються багатофакторними залежностями. Дослiдження таких залежностей вимагає введення поняття функцiй кiлькох змiнних. Аналогiчно, як з функцiєю однiєї змiнної y = f(x) можна розглянути залежнiсть вiд кiлькох незалежних змiнних (x1, x2, . . . , xn). Цю залежнiсть записуємо так:

При цьому числа x1, x2, . . . , xn називають незалежними змiнними, z

– функцiєю. Iнколи набiр iз n дiйсних чисел x1, x2, . . . , xn називають точкою n-вимiрного простору, а числа x1, x2, . . . , xn називаються координатами точки. Сукупнiсть значень (x1, x2, . . . , xn) для яких функцiя

(1) має змiст, називається областю визначення функцiї, а значення, якi приймає функцiя z – називають областю значень функцiї i позначають через G. Причому на вiдмiну вiд функцiї однiєї змiнної, область визначення функцiї (1) складається з n-вимiрної множини. Наприклад, область визначення функцiї z = arcsin(x − y) є смуга координати якої задовольняють подвiйну нерiвнiсть −1 ≤ x − y ≤ 1. Ця смуга обмежена двома паралельними прямими y = x + 1 i y = x − 1 (рис. 12).

67

Якщо вiдстань мiж двома точками (x1, x2, . . . , xn) i (y1, y2, . . . , yn) визначається за формулою

t

то такий простiр називається n-вимiрним евклiдовим простором i позначається Rn. Як частковий випадок n-вимiрного простору розглядають двовимiрний R2 i тривимiрний R3, тодi точка у двовимiрному просторi позначається M(x, y) або (x, y), а точка тривимiрного простору позначається M(x, y, z) або (x, y, z).

Отже, функцiя n-змiнних залежить вiд n-незалежних змiнних (1), геометрична iнтерпритацiя даної функцiї неможлива, але у випадку двох змiнних, як ми знаємо, функцiя f(x, y) = 0 iнтерпритується у декартовiй системi координат як крива, a у випадку трьох змiнних f(x, y, z) = 0 – як поверхня. Для зручностi функцiю n-змiнних z = f(x1, x2, . . . , xn) при n > 3 досить часто розглядають як функцiю точки P (x1, x2, . . . , xn) i пишуть z = f(P ).

Для функцiй кiлькох змiнних справедливi батаго понять i тверджень як i для функцiї однiєї змiнної. Так, розглядаючи функцiю трьох змiнних, зафiксуємо деяке значення y = y0, тодi одержимо функцiю однiєї змiнної x з параметром y0. Якщо поверхню z = f(x, y) перетнути площиною z = const, то також одержимо функцiю f(x, y) = const, яка називається лiнiєю рiвня (iзолiнiєю). Якщо цi лiнiї спроектувати на площину xOy, то отримаємо сiм’ю лiнiй, якi називають горизонталями. Наприклад,

для параболоїда обертання z = x2 + y2 (рис. 13 a)) лiнiями рiвня є

√

кола радiуса c. Поняття лiнiї рiвня використовується при складаннi географiчних карт, де вони показують лiнiї однакової висоти над рiвнем моря, в економiцi вони показують вартостi основного капiталу та затрат працi, якi забезпечують одну i ту ж вартiсть виробленої продукцiї.

Приклад 1. Побудувати лiнiї рiвня функцiї z = x2 + y2 − 2y. Розв’язання. Лiнiя рiвня z = c – це крива на площинi xOy, яка задана

рiвнянням x2 + y2 − 2y = c або x2 + (y − 1)2 = c + 1. Це рiвняння кола з

p

центром в точцi (0; 1) i радiусом |c + 1| (рис. 13 a),б)).

68

Бiльшiсть понять, як було сказано вище, для функцiї однiєї змiнної може бути перенесена на випадок функцiї кiлькох змiнних.

Число a називається границею функцiї z = f(x, y) при x→x0, y→y0, якщо для будь-якого, як завгодно малого ε > 0, знайдеться таке додатне число δ > 0 (δ = δ(ε)) таке, що для всiх точок (x, y) вiдстань вiд яких до точки (x0, y0) менша δ, виконується нерiвнiсть

69

Маємо невизначенiсть типу 00 при ρ → 0, отже, можна застосувати правило Лопiталя

Функцiя z = f(x, y) називається неперервною у точцi (x0, y0), якщо

Тi точки, в яких умова (4) не виконується, називаються точками розриву, якi утворюють лiнiї розриву.

до нескiнченностi.

1

б) Функцiя z= 2x + y + 1 визначе-

на i неперервна в усiх точках, крiм точок, якi задовольняють рiвняння 2x + y + 1 = 0. Це рiвняння прямої, кожна точка якої є точкою розриву. Таким чином, точки розриву утворюють цiлу пряму – лiнiю розриву для даної функцiї.

називається повним приростом функцiї z = f(x, y). Якщо розглядається тiльки прирiст аргументу x або y, то одержанi прирости

70