Рудницький В.Б._ Вища матем в правах и задачах

3.

Перевiрити, чи перетинаються прямi

x + 2

=

y − 3

=

z − 4

та

x

=

y + 4

=

z − 3

.

−1

3

2

3

2

5

4.

Записати рiвняння прямої, що проходить через точку M(−2; 3; 4)

перпендикулярно до площини 3x − 2y + 5z − 6 = 0.

Самостiйна робота

1.

Знайти кут мiж прямими

x −−2y −−3z − 1 = 0

та

2

1

4

2x 3y 4z + 5 = 0,

x − 5

=

y + 3

=

z

− 2

.

2x 3y + 4z 2 = 0,

2.

Довести, що пряма x +−2y − 5z +−3 = 0

та площина

2x − 7y + 12z − 15 = 0 паралельнi.

3.

Знайти проекцiю точки B(6; 1; 7) на площину 2x − y + 3z − 4 = 0.

4.

Знайти проекцiю точки A(3; 2; 0) на пряму

x − 2

=

y + 2

=

z − 5

.

4

3

−2

2x + y + z

2 = 0,

5.

Записати канонiчне рiвняння прямої 2x − y − 3z−+ 6 = 0 .

6.

Знайти точку перетину прямої та площини:

x − 2

=

y − 3

=

z + 1

, x + 2y + 3z 14 = 0.

−

1

−

1

4

−

7.

Знайти точку M0, симетричну точцi M(0; −3; −2) вiдносно прямої

x − 1

=

y + 1, 5

=

z

.

1

−1

1

8.

Знайти точку M0, симетричну точцi M(1; 0; 1) вiдносно площини

4x + 6y + 4z − 25 = 0.

x

=

y − 3

=

z − 1

9.

Показати, що пряма

паралельна площинi

6

−8

−9

10. При яких значеннях n та A пряма

x

=

y − 5

=

z + 5

перпендику-

3

n

лярна до площини Ax + 2y − 2z − 7 = 0?

6

5

3

−1

та

x −−2y − z +−2 = 0.

x + 3

=

y − 3

=

z − 1

2x 3y + z 5 = 0,

прямiй

x − 1

=

y + 2

=

z

?

4

3

1

перпендикулярно до прямих

x + 2

=

y − 3

=

z + 1

та

x + 4

=

y

=

z − 4

.

1

−1

2

1

1

−3

3x

y + 2z

6 = 0,

17.

При якому значеннi D пряма x +−4y − z +−D = 0

перетинає

вiсь Oz?

18.

При якому значеннi p прямi

y = −t + 2, та

x y 3z 2 = 0

x = 2t + 5,

−

−

−

z = pt 7

x + 3y + z + 2 = 0,

паралельнi?

−

19.

Довести, що пряма

x − 2

=

y − 3

=

z − 5

лежить в площинi

x + 2y − 3z + 7 = 0.

2

5

4

x − 7

=

y − 1

=

z − 5

20.

Знайти точку перетину прямої

та площини

1

3x − y + 2z − 8 = 0.

5

4

21.

Записати

загальне

рiвняння

прямої, що

утворена

перетином

перпендикулярно до прямої

x + 1

=

y

=

z − 2

.

2

−1

3

x→a

x→a

x→a

x→a

x→a

x→a

lim

sin x

= 1.

(1)

x

x→0

cos α

−

cos β =

−

2 sin

α + β

sin

α − β

;

2

2

sin α + sin β = 2 sin

α + β

cos

α − β

;

2

2

sin α

−

sin β = 2 sin

α − β

cos

α + β

.

2

2

Приклад 1. Обчислити границю

lim

x3 − 5x2 − 7

.

x→∞

3x3 − 4

кiльки маємо невизначенiсть типу ∞. Тому подiлимо чисельник та зна-

3

∞

менник на x . В результатi одержимо, що

lim

x3 − 5x2 − 7

= lim

1 − x5 −

7

=

1

.

x3

3x3 − 4

4

3

x→∞

x→∞

3 −

x3

Приклад 2. Обчислити границю lim

x2 − 5x + 6

.

x→3

x2 − 9

кiльки маємо невизначенiсть типу 0 . Розкладемо чисельник та знаменник

на множники. Тодi

0

lim

x2 − 5x + 6

= lim

(x − 3)(x − 2)

= lim

x − 2

=

1

.

x2 − 9

(x − 3)(x + 3)

x→3

x→3

x→3 x + 3

6

√

Приклад 3. Знайти границю lim

x + 4 − 2

.

x→0

x

жимо чисельник i знаменник на вираз, спряжений до чисельника:

√

− 2

= lim

(√

− 2)(√

+ 2)

lim

x + 4

x + 4

x + 4

=

x

x( x + 4 + 2)

x

→

0

→

x 0

√

= lim

x + 4 − 4

= lim

x

= lim

1

=

1

.

4

x→0 x(√x − 2 + 2)

x→0 x(√x + 4 + 2)

x→0 √x + 4 + 2

lim

4

1

.

Приклад 4. Знайти границю x→2

x2 − 4

−

x − 2

x→2 x2

− 4

− x − 2

x→2

x2 − 4

x→2 x2 − 4

lim

4

1

= lim

4 − x − 2

= lim

2 − x

.

x→2 x2 − 4

x→2

(x − 2)(x + 2)

x→2

−x + 2

−

4

lim

2 − x

= lim

2 − x

= lim

1

=

1

.

Приклад 5. Знайти границю lim

1 − cos 5x

.

x→0

x2

Розв’язання.

Маємо невизначенiсть 00 . Виконаємо тригонометричнi

перетворення та використаємо першу особливу границю

2

5x

5x

2

−x2

x2

x→0

x→0

x→0

2

x

2

1

cos 5x

2 sin

sin

lim

= lim

= 2 lim

=

x→2

5 sin

5 x

2

x→0

5

2

·

25

25

2

25 x

2

2

4

2

= 2 lim

= 2 lim

= 2

=

.

Аудиторнi завдання

Обчислити границi:

1.

lim

x3 + x + 2

;

2.

lim

x4 + 5x3 + 7

;

2x3 + 3

x→∞

x→∞

2x5 + 3x4 + 1

3.

lim

2x4 + 5x − 6

;

4.

lim

x2 − 6x + 8

;

x→∞ x3 + 3x2 − 1

x→2 x2 − 8x + 12

x3 − 3x2 + 2

lim

√

− 4

5.

lim

;

6.

x + 13

;

x→1

x2 − 7x + 6

x→3

x2 − 9

√

lim

x + 7

− 3

lim

1

3

7.

;

8.

− 1−x3 ;

x→2

√x + 2 − 2

x→1 1−x

tg 3x

9.

lim x(

x2

+ 4

−

x)

;

10.

lim

;

x→∞

p

x→0 sin 2x

11.

lim

1 − cos 6x

;

12.

lim

cos 5x − cos 3x

.

x→0

x sin 3x

x→0

1 − cos x

Домашнi завдання

Обчислити границi:

1.

xlim

x4 + 5x3 + 7

;

2. xlim

x4+5x3+2

;

√

2x

5

+ 3x

4

+ 1

8

2

→∞

→∞

4x +2x

+4

2x2−3x

3.

lim

2x

4.

lim (

x2

+1

x2

−

1)

;

x+1

x→∞

−

;

x→∞ p

−p

lim

1

6

;

lim

x2 + 3x + 2

5.

6.

x3 + 1

;

x→3 x−3 −x2−9

x→−1

x2 − 6x + 8

lim

√

− 2

7.

lim

;

8.

x2 + 4

;

x→2 x2 − 8x + 12

x→0

3x2

lim

√

− 4

x − 1

9.

3x + 1

10.

lim

;

x→5 3 − √x + 4 ;

x→1

√3 + x2 − 2

11.

lim

x tg x

;

12.

lim

1 − cos 8x

;

x→0

1 − cos x

x→0

1 − cos 4x

13.

lim

cos2 3x − cos2 x

;

14.

lim

sin(2(x − 1))

;

x→0

x2

x→1

x2 − 7x + 6

x→0

Самостiйна робота

Обчислити границi:

1.

lim

3x3 + 5x2 + 2

;

2.

lim

5x4 − 3x2 + 7

;

2x3 + 5x2 − x

x→∞

x→∞ x4 + 2x3 + 1

3.

lim

3x2 + 2x + 9

;

4.

lim

x5 − 2x + 4

;

2x2 − x + 4

2x4 + 3x2 + 1

x→∞

x→∞

5.

lim

3x2 + 7x − 4

;

6.

lim

x7 + 5x2 − 4x

;

3x2 + 11x − 7

x→∞ x5 + 2x − 1

x→∞

7.

lim

x3 − x2 + 2x

;

8.

lim

2x2 − x − 1

;

x→0

x2 + x

x→1

3x2 − x − 2

9.

lim

12 + x − x2

;

10.

lim

2x2 + 11x + 15

;

x→3

x3 − 27

x→−3 3x2 + 5x − 12

11.

lim

3x2 + 2x + 1

;

12.

lim

2x2 − 3x − 1

;

x3 − 8

x→2

x→1

x4 − 1

13.

lim

x4 − x2 + x + 1

;

14.

lim

2x2 + 7x − 4

;

x→−1 x4 − 1

x→−4 x3 + 64

15.

lim

x3 + x − 2

;

16.

lim

4x4 − 5x2 + 1

;

x→1 x3 − x2 − x + 1

x→1

x2 − 1