Рудницький В.Б._ Вища матем в правах и задачах

2. Нехай прямi заданi рiвняннями з кутовими коефiцiєнтами:

y = k1x + b1 та y = k2x + b2. Тодi тангенс кута ϕ мiж прямими обчислюється за формулою:

Вiдстань d вiд точки M(x0, y0) до прямої, що задається загальним рiвнянням Ax + By + C = 0, визначається за формулою:

3x + y − 3 10 = 0 та 6x + 2y + 5 10 = 0.

Розв’язання. Задача зводиться до визначення вiдстанi вiд довiльної

точки однiєї прямої до другої прямої. Поклавши, наприклад, у рiвняннi

√ √

першої прямої x=0, отримаємо, що y=3 10. Таким чином, M(0; 3 10) – точка, що лежить на першiй прямi. Тепер визначимо вiдстань вiд точки

Приклад 2. Визначитии гострий кут мiж прямими y = −3x + 7 та y = 2x + 1.

Розв’язання. Використаємо формулу (4), поклавши k1= − 3, k2=2.

Приклад 3. Довести, що прямi 3x − 5y + 7 = 0 та 10x + 6y − 3 = 0 перпендикулярнi.

Розв’язання. З рiвняння першої прямої маємо: A1=3, B1= − 5, для другої прямої A2 = 10, B2 = 6. За формулою (2) A1A2 + B1B2 = = 3 · 10 + (−5) · 6 = 0, тобто прямi перпендикулярнi.

31

Aудиторнi завдання

1. Точка A(2; −5) є вершиною квадрата, одна з сторiн якого лежить на прямiй x − 2y − 7 = 0. Обчислити площу квадрата.

2.Обчислити значення меншого кута ϕ мiж прямими 3x + 4y − 2 = 0

та 8x + 6y + 5 = 0.

3.Визначити, при якому значеннi m рiвняння 3mx − 2y + 5 = 0 та 2x + 9y − 7 = 0 задають: а) паралельнi прямi; б) перпендикулярнi прямi.

4.Дослiдити взаємне розташування двох прямих `1 та `2. Якщо `1 та `2 паралельнi, то знайти вiдстань мiж ними та точку перетину:

Домашнi завдання

1.Записати рiвняння трьох сторiн квадрата, якщо вiдомо, що четвертою стороною є вiдрiзок прямої 4x + 3y − 12 = 0, кiнцi якого лежать на осях координат.

2.Знайти рiвняння прямої, що проходить паралельно до прямої

та x − y − 10 = 0 рiвнобедрений. Знайти кут при його вершинi. 4. Довести, що наступнi пари прямих паралельнi:

a)2x + 3y − 3 = 0 та 4x + 6y + 1 = 0; б) y = 2x − 3 та y = 2x + 5.

5.Доведiть, що наступнi пари прямих взаємно перпендикулярнi:

a)2x + 3y + 1 = 0 та 6x − 4y + 3 = 0;

б) x + 2y − 3 = 0 та 6x − 3y + 5 = 0.

Самостiйна робота

1.Записати рiвняння прямoї, що проходить через точку перетину прямих 3x − 2y − 7 = 0 i x + 3y − 6 = 0 та вiдтинає на осi абсцис вiдрiзок, рiвний 5.

2.Знайти проекцiю точки A(−8; 12) на пряму, що проходить через точки B(2; −3) та C(−5; 1).

3.Дано двi вершини трикутника ABC: A(−4; 4), B(4; −12) та точка M(4; 2) перетину його висот. Знайти вершину C.

4.Визначити вiдстань вiд точки M(2; −1) до прямої, що вiдтинає на осях координат вiдрiзки a = 8, b = 6.

32

5.При якому значеннi m прямi 7x − 2y − 5 = 0, x + 7y − 8 = 0 та mx + my − 8 = 0 перетинаються в однiй точцi?

6.Точки A(1; 2) та B(3; 6) – протилежнi вершини квадрата. Визначити координати двох iнших вершин.

7.Знайти пряму, що проходить через точку перетину прямих x + 2y + 3 = 0, 2x + 3y + 4 = 0 паралельно до прямої 5x + 8y = 0.

8.Знайти пряму, що проходить через точку перетину прямих

x + 2y + 1 = 0, 2x + y + 2 = 0 та утворює кут 1350 з вiссю абсцис.

9.Довести, що чотирикутник ABCD – трапецiя, якщо A(3; 6), B(5; 2),

C(−1; −3), D(−5; 5).

10.Запишiть рiвняння прямої, що проходить через точку A(3; 1) перпендикулярно до прямої BC, якщо B(2; 5), C(1; 0).

11.Знайти точку, симетричну точцi M(2; −1) вiдносно прямої x − 2y + 3 = 0.

12.Знайти точку O перетину дiагоналей чотирикутника ABCD, якщо

A(−1; −3), B(3; 5), C(5; 2), D(3; −5).

13.Вiдомо рiвняння сторони AB трикутника ABC: 4x + y = 12, його висот BH: 5x − 4y = 12 та AM: x + y = 6. Знайти рiвняння двох iнших сторiн трикутника ABC.

14.Дано двi вершини трикутника ABC: A(−6; 2), B(2; −2) та точка перетину його висот H(1; 2). Знайти координати точки M перетину сторони AC та висоти BH.

15.Обчислити координати точки перетину серединних перпендикулярiв сторiн трикутника з вершинами A(2; 3), B(0; −3), C(6; −3).

16.Записати рiвняння висоти, проведеної з вершини A трикутника ABC, якщо вiдомi рiвняння його сторiн AB: 2x−y−3=0, AC: x+5y−7=0,

BC: 3x − 2y + 13 = 0.

17.Дано трикутник з вершинами A(3; 1), B(−3; −1), C(5; −12). Знайти рiвняння та обчислити довжину його медiани, проведеної з вершини

C.

18.Знайти рiвняння перпендикулярiв до прямої 3x + 5y − 15 = 0, проведених через точки перетину даної прямої з осями координат.

19.Дано рiвняння сторiн чотирикутника: x−y=0, x+3y=0, x−y−4=0, 3x + y − 12 = 0. Знайти рiвняння його дiагоналей.

20.Записати рiвняння прямої, що проходить через точку A(−2; 3) та утворює з вiссю Ox кут: а) 450; б) 900; в) 00.

21.Через точку перетину прямих 2x − 5y − 1 = 0 та x + 4y − 7 = 0 провести пряму, що дiлить вiдрiзок мiж точками A(4; −3) та B(−1; 2) у вiдношеннi λ = 2/3.

33

22.Вiдомi рiвняння двох сторiн ромба 2x−5y −1 = 0 i 2x−5y −34 = 0 та рiвняння однiєї з його дiагоналей x+3y−6 = 0. Знайти рiвняння другої дiагоналi.

23.Знайти точку E перетину медiан трикутника ABC, якщо A(−3; 1),

B(7; 5), C(5; −3).

24.Дано рiвняння двох сторiн паралелограма x −2y = 0, x −y −1 = 0 та точка перетину його дiагоналей M(3; −1). Знайти рiвняння двох iнших сторiн.

§3. Площина

Площина в декартовiй прямокутнiй системi координат Oxyz може бути задана наступними рiвняннями:

1. Загальне рiвняння площини:

Ax + By + Cz + D = 0, (1)

де A, B, C координати нормального, тобто перпендикулярного до площини вектора ~n (рис.9).

2. Рiвняння площини, що задається точкою M(x0, y0, z0) та нормальним вектором ~n = {A, B, C} (рис.9):

де a, b, c – вiдрiзки, що вiдтинає площина на координатних осях Ox, Oy i Oz вiдповiдно.

4. Рiвняння площини, що проходить через три заданi точки

M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) та M3(x3, y3, z3):

34

5. Рiвняння площини, що проходить через задану точку M1(x1, y1, z1)

Нехай двi площини заданi рiвняннями у загальному виглядi:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Косинус кута ϕ мiж двома площинами обчислюється за формулою:

де ~n1 = {A1, B1, C1} та ~n2 = {A2, B2, C2} – нормальнi вектори даних площин.

Умова паралельностi двох площин:

Умова перпендикулярностi двох площин:

Вiдстань d вiд точки M(x0, y0, z0) до площини Ax + By + Cz + D = 0 обчислюється за формулою:

Аудиторнi завдання

1.Записати рiвняння площини:

a)що проходить через точку M(7; −3; 5) паралельно площинi Oxz;

б) що проходить через вiсь Oz та точку A(−3; 1; −2);

в) що проходить через двi точки M1(4; 0; −2) та M2(5; 1; 7) паралельно осi Ox;

г) що проходить через точку M(7; −5; 1) та вiдтинає на осях координат рiвнi додатнi вiдрiзки.

2. Знайти кут мiж площинами x − 2y + 2z − 3 = 0 та 3x − 4y + 5 = 0.

35

3.Обчислити вiдстань мiж паралельними площинами

3x + 6y + 2z−15=0 та 3x + 6y + 2z + 13 = 0.

4.Дослiдити взаємне розташування площин:

а) −x + 2y − z + 1 = 0 та y + 3z − 1 = 0;

б) 2x − y + z − 1 = 0 та −4x + 2y − 2z − 1 = 0; в) 2x − y − z + 1 = 0 та x + 4y − 2z + 5 = 0.

Домашнi завдання

1.Записати рiвняння площини, що проходить через точку P (1; 0; 2) перпендикулярно до двох площин 2x−y+3z −1 = 0 та 3x+6y+3z −5 = 0.

2.Записати рiвняння площини, що проходить паралельно вектору

3.Записати рiвняння площини, що проходить через лiнiю перетину площин x + 5y + 9z − 13 = 0, 3x − y − 5z + 1 = 0 та через точку M(0; 2; 1).

4.Запишiть рiвняння площини, що проходить паралельно площинi 2x − 6y + 3z − 56 = 0 на вiдстанi d = 4.

5.Знайдiть кут мiж площинами 2x + y − 2z + 3 = 0 та x + y − 5 = 0.

Самостiйна робота

1.Знайти вiдрiзки, якi вiдтинає на координатних осях площина, що проходить через точку M(−2; 7; 3) паралельно площинi x−4y +5z −1 = 0.

2.Записати рiвняння площини, що проходить через середину вiдрiзка M1M2 перпендикулярно до нього, якщо M1(1; 5; 6), M2(−1; 7; 10).

3.Знайти довжину перпендикуляра, проведеного з точки M(2; 3; −5) до площини 4x − 2y + 5z − 12 = 0.

4. Записати рiвняння площини, що проходить через точки A(2; 5; 1) та B(−3; 1; 3) паралельно осi Oy.

5. Записати рiвняння площини у "вiдрiзках", якщо вона проходить через точку M(6; −10; 1) та вiдтинає на осi Ox вiдрiзок a = −3, а на осi Oz – вiдрiзок c = 2.

6.Знайти рiвняння площини, точки якої рiвновiддаленi вiд точок

P (1; −4; 2) та Q(7; 1; −5).

7.Знайти рiвняння площини, що проходить через точку перетину площин 2x + 2y + z − 7 = 0, 2x − y + 3z − 3 = 0, 4x + 5y − 2z − 12 = 0 та через точки M(0; 3; 0) i N(1; 1; 1) .

8. Записати рiвняння площини, що проходить через точки A(1; 1; 0) та B(2; −1; −1) перпендикулярно до площини 5x + 2y + 3z − 7 = 0.

36

9.Записати рiвняння площини, що проходить через початок координат перпендикулярно до двох площин 2x−3y+z−1 = 0 та x−y+5z+3 = 0.

10.Записати загальне рiвняння площини, що проходить через поча-

B(1; −3; 5).

11.Записати загальне рiвняння площини, що проходить через точку A(3; −4; 1) паралельно координатнiй площинi Oxz.

12.Визначити, при якому значеннi B площини x − 4y + z − 1 = 0 та 2x + By + 10z − 3 = 0 перпендикулярнi.

13.Обчислити об’єм пiрамiди, обмеженої площиною

2x − 3y + 6z − 12 = 0 та координатними площинами.

14.Записати рiвняння площини, рiвновiддаленої вiд двох площин:

4x − y − 2z − 3 = 0 та 4x − y − 2z − 5 = 0.

15.Визначити при якому значеннi C площини 3x −5y + Cz −3 = 0 та x − 3y + 2z + 5 = 0 перпендикулярнi.

16.При яких значеннях B та N площини 2x + y + Bz − 1 = 0 та

Nx + 3y + 15z + 5 = 0 паралельнi?

17.Записати рiвняння площини, що проходить через точки

M(2; 3; −5) та N(−1; 1; −6) паралельно вектору ~a = {4; 4; 3}.

18.Знайти кут мiж площинами x − 2y + 2z + 3 = 0 та x + z − 5 = 0.

19.Записати рiвняння площини, що проходить через лiнiю перетину площин 2x − y − 12z − 3 = 0 i 3x + y − 7z − 2 = 0 перпендикулярно до

площини x + 2y + 5z − 1 = 0.

− ~ ~ ~

20. Який кут утворює з площиною x+y+2z 4 = 0 вектор ~a = i+2j+k?

§4. Пряма в просторi. Пряма та площина

В залежностi вiд способу задання прямої в просторi можна розглядати рiзнi її рiвняння.

1. Загальне рiвняння прямої в просторi як перетин двох площин:

2. Рiвняння прямої, що проходить через двi точки M1(x1, y1, z1) та

M2(x2, y2, z2):

37

Синус кута ϕ мiж прямою та площиною знаходять за формулою:

Якщо AM + Bn + Cp 6= 0, то пряма перетинає площину. Якщо

AM + Bn + Cp = 0 i Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0, то пряма паралельна площинi. Якщо AM + Bn + Cp = 0 i Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, то пряма лежить у площинi.

канонiчному виглядi.

Розв’язання. З рiвнянь площини, що утворюють пряму, випишемо координати нормальних векторiв ~n1 = {2; −1; 3}, ~n2 = {5; 4; −1}. Знайдемо

¨

Тепер необхiдно знайти точку M, яка лежить на прямiй. Iї координати мають задовольняти систему

2x − y + 3z − 1 = 0 5x + 4y − z − 7 = 0.

Покладемо x = 0, тодi

−y + 3z − 1 = 0 4y − z − 7 = 0.

Розв’язавши останню систему, одержимо, що y = 2, z = 1. Тому рiвняння прямої в канонiчному виглядi запишеться так:

39

Приклад 2. Знайти кут ϕ мiж прямою, що проходить через точки

A(5; 1; −4) i B(6; 1; −3) та площиною 2x − 2y + z − 3 = 0.

Розв’язання. За напрямний вектор прямої можна взяти вектор

Домашнi завдання

1. Записати рiвняння площини, що проходить через пряму

перпендикулярно до площини x + 4y − 3z + 7 = 0. 2. Обчислити вiдстань мiж прямими

40