Рудницький В.Б._ Вища матем в правах и задачах

121

§4. Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння другого порядку з сталими коефiцiєнтами

Диференцiальне рiвняння виду:

називається лiнiйним однорiдним диференцiальним рiвнянням другого порядку з сталими коефiцiєнтами.

Для знаходження розв’язку рiвняння (1) складають характеристичне рiвняння

Тодi загальний розв’язок рiвняння (1) будується в залежностi вiд коренiв рiвняння (2):

1) якщо λ1 та λ2 – рiзнi дiйснi числа, то

y= C1eλ1x + C2eλ2x;

2)якщо λ1 = λ2 = λ дiйснi, то

y= (C1 + C2x) eλx;

3)якщо λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ – комплекснi числа, то

y = eαx(C1 cos βx + C2 sin βx).

Рiвняння виду

називається лiнiйним неоднорiдним диференцiальним рiвнянням другого порядку з сталими коефiцiєнтами.

Загальний розв’язок рiвняння (3) шукають у виглядi суми загального розв’язку вiдповiдного однорiдного рiвняння та частинного розв’язку неоднорiдного рiвняння, тобто

Частинний розв’язок неоднорiдного рiвняння в загальному випадку можна знайти методом варiацiї довiльних сталих. Але якщо функцiя f(x) має спецiальний вигляд, то простiше знайти частинний розв’язок методом невизначених коефiцiєнтiв. Якщо

122

де α, β – сталi, Pn(x) та Qm(x) – полiноми вiдповiдно n-го та m-го степеня вiдносно x, то частинний розв’язок рiвняння (3) можна шукати у виглядi:

yч.н. = xreαx[Ps(x) cos βx + Qs(x) sin βx].

Тут r дорiвнює показнику кратностi кореня α + βi в характеристичному рiвняннi (2) (якщо характерисичне рiвняння такого кореня немає, то r=0); Ps(x), Qs(x) – повнi полiноми вiд x степеня s з невизначеними коефiцiєнтами, причому S = max{n, m}.

Приклад. Знайти загальний розв’язок рiвняння

y00 + y0 − 2y = cos x − 3 sin x.

Розв’язання. Характеристичне рiвняння має вигляд: λ2 + λ − 2 = 0. Його коренями є λ1 = 1, λ2 = −2, тому загальний розв’язок однорiдного рiвняння має вигляд:

yз.о. = C1e−2x + C2ex.

Функцiя f(x) має вигляд: f(x) = cos x−3 sin x, тобто α = 0, β = 1, α+βi = = 0 + i = i, оскiльки такого кореня у характеристичному рiвняннi немає, то r = 0, Pn(x) = 1, Qm(x) = −3, тому n = m = 0, а вiдповiдно i s = 0. Отже, частинний розв’язок неоднорiдного рiвняння шукаємо у виглядi:

yч.н. = A cos x + B sin x.

Знаходимо похiднi:

Пiдставляємо yч.н., yч0 .н., yч00.н. у початкове рiвняння

−A cos x − B sin x + B cos x − A sin x − 2(A cos x + B sin x) = cos x − 3 sin x

(B − 3A) cos x + (−3B − A) sin x = cos x − 3 sin x.

Прирiвнюючи коефiцiєнти при cos x та sin x, одержуємо систему:

B − 3A = 1

−3B − A = −3

звiдки A=0, B=1. Таким чином, yч.н. = sin x. Тодi загальний розв’язок початкового рiвняння має вигляд:

y = C1e−2x + C2ex + sin x.

123

Аудиторнi завдання

Знайти загальнi розв’язки рiвнянь:

Знайти частинний розв’язок рiвняння при заданих початкових умовах: y00 + 4y = cos 2x, y(0) = y0(π/4) = 0.

Знайти частиннi розв’язки рiвнянь:

1.y00 + y = sin 2x, y(0) = 0, y0(0) = 0;

2.y00 − 3y0 + 2y = e3x(3 − 4x), y(0) = 0, y0(0) = 0.

3.y00 − 2y0 + 5y = 10e−x cos 2x;

4.y00 − 2y0 − 8y = 12 sin 2x − 36 cos 2x;

5.y00 − 12y0 + 36y = 14e6x;

6.y00 − 3y0 + 2y = (34 − 12x)e−x;

7.y00 + y = 2 cos x − (4x + 4) sin x;

8.y00 − 8y0 + 12y = 36x4 − 96x3 + 24x2 + 16x − 2;

9.y00 + 36y = 36 + 66x − 36x3;

10.y00 − 4y0 + 29y = 104 sin 5x;

11.y00 − 4y0 + 5y = (24 sin x + 8 cos x)e−2x;

12.4y00 − 4y0 + y2 = −25 cos x;

Знайти частинний розв’язок диференцiального рiвняння, що задовольняє початковим умовам:

1.y00 + 2y0 + 2y = 2x2 + 8x + 6, y(0) = 1, y0(0) = 4;

2.y00 + 3y0 − 10y = xe−2x, y(0) = 0, y0(0) = 0;

3.y00 − y = cos 2x, y(0) = −1/5, y0(0) = 1;

4.y00 − 9y0 + 18y = 26 cos x − 8 sin x, y(0) = 0, y0(0) = 2;

5.y00 + 25y = ex(cos 5x − 10 sin 5x), y(0) = 3, y0(0) = −4.

124

Перелiк питань для самоперевiрки

1.Дайте означення визначникiв 2-го та 3-го порядкiв.

2.Якими властивостями володiють визначники?

3.Що називають мiнором будь-якого елемента визначника?

4.Яку величину називають алгебраїчним доповненням елемента визначника?

5.Сформулюйте теорему про розклад визначника по довiльному рядку (стовпцю).

6.Дайте означення матрицi, наведiть основнi види матриць.

7.Як додати двi матрицi? Як помножити матрицю на число? Як перемножити двi матрицi?

8.Яка матриця називається оберненою для даної матрицi? Як її зна-

йти?

9.Яка система лiнiйних алгебраїчних рiвнянь називається: а) сумiсною; б) несумiсною?

10.Сформулюйте правило розв’язування СЛАР. Запишiть його для системи 3-го порядку.

11.Дайте означення n-вимiрного вектора, вкажiть формулу для обчислення його довжини.

12.Якi лiнiйнi операцiї можна виконувати над векторами?

13.Якi вектори називаються колiнеарними, компланарними, одинич-

ними?

14.Якi вектори називаються лiнiйно залежними i лiнiйно незалежни-

ми?

15.Що таке базис? Сформулюйте теорему про розклад вектора по

базису.

16.Дайте означення скалярного добутку двох векторiв.

17.За якою формулою знаходять кут мiж векторами?

18.Сформулюйте необхiдну i достатню умову колiнеарностi двох век-

торiв.

19.Сформулюйте необхiдну i достатню умову перпендикулярностi двох векторiв.

20.Як знайти координати вектора, якщо вiдомi координати його початку та кiнця?

21.Як знайти вiддаль мiж двома даними точками?

22.Запишiть рiвняння прямої, що проходить через двi точки.

125

23.Яке рiвняння прямої називається загальним? Наведiть частковi випадки.

24.За якою формулою знаходять кут мiж двома прямими?

25.Запишiть умови паралельностi та перпендикулярностi двох пря-

мих.

26.Запишiть рiвняння площини, що проходить через дану точку перпендикулярно до даного вектора.

27.Яке рiвняння площини називається загальним? Наведiть частковi випадки.

28.Дайте означення границi функцiї у точцi.

29.Сформулюйте теорему про границi.

30.Яку границю називають першою особливою границею?

31.Яку границю називають другою особливою границею?

32.Яка функцiя називається неперервною?

33.Наведiть класифiкацiю точок розриву функцiї.

34.Дайте означення похiдної у точцi. Який геометричний, механiчний i економiчний змiст похiдної?

35.Правила диференцiювання суми, добутку та частки функцiй.

36.Правило диференцiювання складної функцiї.

37.Використання похiдної при обчисленнi границь.

38.Умови монотонностi функцiї.

39.Екстремуми функцiї. Необхiдна умова екстремуму функцiї однiєї змiнної.

40.Достатня умова екстремуму функцiї однiєї змiнної.

41.Вiдшукання найбiльшого та найменшого значення функцiї на вiдрiзку.

42.Направлення опуклостi графiка функцiї.

43.Точки перегину. Достатня умова iснування перегину.

44.Асимптоти до рафiка функцiї. Вертикальнi i похилi асимптоти.

45.Загальна схемою побудови графiка функцiї.

46.Поняття функцiї декiлькох змiнних.

47.Частиннi похiднi функцiї декiлькох змiнних. Диференцiал.

48.Застосування диференцiалу в наближених обчислення.

49.Частиннi похiднi вищих порядкiв. Змiшанi похiднi.

50.Екстремум функцiї декiлькох змiнних. Необхiдна умова екстре-

муму.

51.Достатня умова екстремуму функцiї кiлькох змiнних.

52.Визначення найбiльшого i найменшого значення функцiї у замкненiй обмеженiй областi.

126

53.Побудова емпiричної лiнiйної функцiї методом найменших квадра-

тiв.

54.Первiсна функцiя. Неозначений iнтеграл та його властивостi.

55.Таблиця основних iнтегралiв.

56.Замiна змiнної в неозначеному iнтегралi. Занесення виразу пiд знак диференцiала.

57.Iнтегрування частинами в неозначеному iнтегралi.

58.Iнтегрування рацiональних функцiї.

59.Iнтегрування деяких iррацiональних та тригонометричних функ-

цiй.

60.Означення означеного iнтеграла.

61.Основнi властивостi означеного iнтеграла.

62.Формула Ньютона–Лейбнiца.

63.Замiна змiнної в означеному iнтегралi.

64.Iнтегрування частинами в означеному iнтегралi.

65.Застосування означеного iнтегралу.

66.Поняття числового ряду та його частинної суми. Збiжнiсть числового ряду.

67.Необхiдна умова збiжностi числового ряду.

68.Достатнi ознаки збiжностi числових рядiв (порiвняння, Кошi, Даламбера, iнтегральна ознака).

69.Знакозмiннi ряди. Ознака Лейбнiца.

70.Абсолютно i умовно збiжнi ряди.

71.Поняття про функцiональнi ряди. Область збiжностi.

72.Степеневi ряди. Радiус збiжностi.

73.Поняття про диференцiальне рiвняння та його розв’язок. Порядок рiвнянь.

74.Диференцiальнi рiвняння з вiдокремленими змiнними.

75.Однорiднi диференцiальнi рiвняння 1-го порядку.

76.Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння першого порядку.

77.Розв’язування лiнiйних неоднорiдних (з правою частиною спецiального виду) диференцiальних рiвнянь з сталими коефiцiєнтами.

127

Лiтература

1.Рудницький В.Б., Делей В.I. Вища математика. Навчальний посiбник. – Хмельницький: Подiлля, 1999. – 310 с.

2.Рудницький В.Б. Вища математика у вправах i задачах. Навчальний посiбник для студентiв економiчних та технологiчних спецiальностей вузiв. Хмельницький: ТУП, 1999. – 104 с.

3.Васильченко I.П. Вища математика для економiстiв. Пiдручник. – К.: Знання-Пресс, 2002. – 454 с.

4.Бугiр М.К. Математика для економiстiв. Навчальний посiбник. – Тернопiль: Пiдручники i посiбники, 1998. – 192 с.

5.Рудницький В.Б., Кантемир I.I. Практичнi заняття з курсу вищої математики. Ч.1. - Хмельницький.: ТУП, 1999. - 437 с.

6.Рудницький В.Б., Кантемир I.I. Практичнi заняття з курсу вищої математики. Ч.2. - Хмельницький.: ТУП, 2000. - 315 с.

7.Вища математика. Методичнi вказiвки та контрольнi завдання для студентiв iнженерно-технiчних спецiальностей. / Рудницький В.Б., Лесюк I.I., Мiхалевська Г.I. – Хмельницький: ТУП, 2002. – 241 с.

8.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учебник для вузов. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Наука гл. ред. физ.-мат. лит., 1998. – 224 с.

9.Рудницький В.Б., Кантемир I.I. Вища математика. – Пiдручник. Т.1. – Львiв: Афiша. – 580 с.

10.Рудницький В.Б., Кантемир I.I. Вища математика. – Пiдручник. Т.2. – Львiв: Афiша. – 365 с.

128

ЗМIСТ

Передмова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

ЕЛЕМЕНТИ ЛIНIЙНОЇ АЛГЕБРИ

§1. Визначники та їх властивостi. Обчислення визначникiв . . . . . 4 §2. Матрицi, дiї над ними. Обернена матриця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §3. Метод Крамера. Матричний метод розв’язування систем

лiнiйних алгебраїчних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 §4. Ранг матрицi. Теорема Кронекера–Капеллi. Метод Гаусса . .13 §5. Вектори та лiнiйнi операцiї над ними. Скалярний добуток двох векторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

§6. Векторний добуток двох векторiв. Мiшаний добуток трьох векторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

§7. Лiнiйна залежнiсть векторiв. Базис. Розклад вектора по базису . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

ЕЛЕМЕНТИ АНАЛIТИЧНОЇ ГЕОМЕТРIЇ

§1. Пряма на площинi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 §2. Кут мiж прямими. Умови паралельностi та перпендикулярностi прямих. Вiдстань вiд точки до прямої . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 §3. Площина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

§4. Пряма в просторi. Пряма та площина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛIЗУ

§1. Границя функцiї. Перша особлива границя . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 §2. Друга особлива границя. Неперервнiсть функцiї . . . . . . . . . . . .48 §3. Похiдна функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 §4. Похiднi вищих порядкiв. Правило Лопiталя . . . . . . . . . . . . . . . . 58 §5. Дослiдження поведiнки функцiї та побудова її графiка . . . . . 61 §6. Повне дослiдження функцiї та побудова її графiка . . . . . . . . . 63 §7. Функцiї кiлькох змiнних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 §8. Безпосереднє iнтегрування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 §8. Замiна змiнних у невизначеному iнтегралi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 §10. Iнтегрування частинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 §11. Iнтегрування рацiональних функцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

129

§12. Iнтегрування тригонометричних функцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 §13. Iнтегрування iррацiональних функцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 §14. Означений iнтеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 §15. Обчислення площi плоскої фiгури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 §16. Подвiйний iнтеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 §17. Числовi ряди. Ознаки збiжностi числових рядiв . . . . . . . . . . . 105 §18. Знакозмiннi ряди. Ознака Лейбнiца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 §19. Функцiональнi та степеневi ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ

§1. Диференцiальнi рiвняння з вiдокремленими змiнними. Однорiднi диференцiальнi рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

§2. Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння першого порядку . . . . . . . . 117 §3. Диференцiальнi рiвняння другого порядку, що допускають

зниження порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 §4. Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння другого порядку з сталими

коефiцiєнтами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Перелiк питань для самоперевiрки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Лiтература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

130