Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Херсонский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Рудницький В.Б._ Вища матем в правах и задачах

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

703.72 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Самостiйна робота

Знайти iнтеграли:

Zx − 4

1.x2 − 5x + 6 dx;

3.Z x3 + 1 dx;

x3 − x2

Z(2x2 − 3x − 3) dx

5.(x − 1)(x2 − 2x + 5) ;


7.	Z		(x + 1)(x2 + 1)2 dx;
				2x dx
9.	Z		x(x2 − 1) ;
				dx
		Z		x3 + 2
11.						dx;
				x4 + 3x2
		Z		x2 + 1
13.				3			dx;
				(x − 1)(x2 − 1)
15.		Z			4x2
				(x2 − 2x + 1)(x + 1)

Zx3 − 3

17.(x − 1)(x2 − 1) dx;

19.	Z	x3 + x2 ;
		dx

10.

12.

14.

dx; 16.

18.

20.

dx;

x2 − 3x + 2

x2 − 2x + 3

dx;

(x − 1)(x3 − 4x2 + 3x)

dx;

x4 − 1

2x2 + 41x − 91

dx;

(x − 1)(x + 3)(x −

x(x2 + 6x + 13) ;

13 dx

2x2

2x + 1

− −

dx;

x3 − x2

4 + 8x3

4x − −

dx;

x3 + 2x2 + x

2x3 + 1

dx;

x2(x + 1)

x2 − 3x + 2

;

x3 + 2x2 + x

+ 3x + 2

dx.

x3 − 1

§12. Iнтегрування тригонометричних функцiй

Iнтеграли виду R(sin x, cos x) dx, де R – рацiональна функцiя вiд-

носно sin x i cos x, приводяться до iнтегралiв вiд рацiональних функцiй

за допомогою унiверсальної тригонометричної пiдстановки tg x

= t. При

цьому

sin x =

2 tg x2

;

cos x =

1 − tg2 x2

1 − t2

;

1 + tg2 x

1 + t2

1 + tg2 x

1 + t2

x = 2 arctg t

dx =

2dt

1 + t2

Якщо R(sin x, cos x) – непарна функцiя вiдносно sin x, то iнтеграл рацiоналiзується за допомогою пiдстановки cos x = t.

Якщо R(sin x, cos x) – непарна функцiя вiдносно cos x, то iнтеграл знаходять за допомогою пiдстановки sin x = t.

Якщо R(sin x, cos x) – парна функцiя вiдносно sin x i cos x, то найкраще використати пiдстановку tg x = t.

Наведемо тригонометричнi формули, якi зручно використовувати при

обчисленнi iнтегралiв:
sin α sin β =				1			[cos(α			− β) − cos(α + β)],

				2
cos α cos β =				1			[cos(α − β) + cos(α + β)],

					2
sin α cos β =				1			[sin(α − β) + sin(α + β)],

						2
		sin α cos α =									1	sin 2α,
										2

1										1
sin2 α =		(1 − cos 2α)								cos2 α =				(1 + cos 2α)
	2												2
1 + tg2 α =				1				,		1 + ctg2 α =					1		.
			cos2 α
															sin2 α
Приклад. Знайти iнтеграл Z												dx
																.
									4 sin x + 3 cos x + 5

Розв’язання. Виконаємо унiверсальну тригонометричну пiдстановку

tg x

= t

1 − t2

2dt

sin x =

cos x =

dx =

1 + t2

Тодi

4 sin x + 3 cos x + 5 = Z

2dt

= Z

4 2t

+ 5

2t2 + 8t + 8 =

+ 3 1 − t2

1 + t2

2 dt

= Z

1 + t2

(t + 2)2 = −t + 2

+ C = −tg x2 + 2 + C.

Аудиторнi завдання

Знайти iнтеграли:

sin 3x cos 4x dx;

sin 2x sin 3xdx;

sin

3x cos2 x dx;

cos4 3xdx;

sin

sin4 x cos3 x dx;

dx;

cos4 x

tg3 x dx;dx

ctg6 x dx;

;

10.

3 + 5 sin x + 3 cos x

sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x

Домашнi завдання

Знайти iнтеграли:

;

3 + 5 cos x

3 sin2 x + 5 cos2 x

cos3 x sin10 x dx;

;

sin2 x + 3 sin x cos x + cos2 x

sin4 3x dx;

cos4 x + sin4 x

dx;

cos2 x − sin2 x

;

cos x sin3 x

4 − 5 sin x

sin x dx

cos 2x

;

10.

√

dx.

sin x + 1

3 + 4 sin 2x

Самостiйна робота


Знайти iнтеграли:
1.	Z	5	+ 2 sin x + 3 cos x;
			dx
3.	Z		1 + cos x		;
	Z	3 sin x − 2 cos x		dx
				dx
5.		3	+ 2 cos x − sin x;
			dx
7.	Z	5	− 3 cos x;
			dx


2.	Z	5 − 4 sin x + 2 cos x;
		dx
	Z	dx
4.			;
		5 cos x + 10 sin x
6.	Z	8 − 4 sin x + 7 cos x;
		dx
8.	Z	8 sin2 x − 16 sin x cos x;
		dx

9. Z

16 sin2 x − 8 sin x cos x;

10.

1 + 3 cos2 x;

11.

sin2 x + 2 cos2 xdx;

12.

3 cos2 x + 4 sin2 x;

2 tg x + 3

13.

4 sin4 x + cos4 x

;

14.

cos

;

sin 2x

4 3x sin2 3xdx

15.

cos3 x sin8 x dx;

16.

√3 sin2 xdx.

cos

§13. Iнтегрування iррацiональних функцiй

Iнтеграли виду

ax + b

n cx + d !dx, де R(x, y) – рацiональна функ-

цiя вiдносно своїх аргуметiв, рацiоналiзуються пiдстановкою:

t = n

x =

dtn − b

, dx =

(ad − bc) n tn−1

dt.

ax + b

rcx + d

a − ctn

(a − ctn)2

Iнтеграли виду Z

R(x,

ax2 + bx + c) dx рацiоналiзуються пiдстанов-

ками Ейлера.

Якщо a > 0, то можна зробити першу пiдстановку Ейлера:

+ x√

t2 − c

dx = 2

√

at2 + bt + c√

dt.

t =

x =

ax2 + bx + c

2√at + b

(2√a + b)2

Якщо квадратний тричлен ax2 + bx + c має рiзнi дiйснi коренi x1 i x2,

то можна зробити другу пiдстановку Ейлера:
	√		,		−ax2 + x1t2			2a(x1 − x2)t	dt.
t =		ax2 + bx + c		x =		,	dx =
					t2 − a
		x − x1						(t2 − a)2

Вираз виду xm(a+bx4)p, де a i b – довiльнi сталi числа, а m, n, p – сталi рацiональнi числа, називається диференцiальним бiномом. Вiдмiтимо три випадки, коли iнтеграл вiд диференцiального бiнома рацiоналiзується:

1.p – цiле число. Тодi можна зробити пiдстановку x = tq, де q найменший спiльний знаменник дробiв m i n.

2.m + 1 – цiле число. Тодi можна зробити пiдстановку a + bxn = tq, n

де q – знаменник дробу p.

3.m + 1 +p – цiле число. Тодi iнтеграл рацiоналiзується пiдстановкою n

ax−n + b = tq, де q – знаменник дробу p.

√

Приклад. Знайти iнтеграл √ x dx.

4 x3 + 4

Розв’язання.

√

= u4

= 4 Z

u5 du

√4 x3 + 4 dx =

dxx= 4u3du

u3 + 4 u3du = 4 Z

u3 + 4

4u2

= 4 Z u

−

du =

−

ln |u

+4| + C =

u3+4

ln |p4 x3 + 4| + C.

√x3 −

Аудиторнi завдання

Знайти iнтеграли:

√

;

√3

xdx√4

;

x2 + 2x + 3

3. Z

√3x + 4 + 2√4 3x + 4 ;

4. Z

−

√x − 7√4 x;

5. Z

;

6. Z x√x2

− x + 1 ;

1 + x

1 − x

7. Z

8. Z

x√x2

(x + 1)√1 − x − x2 ;

− x − 1 ;

(x − 1)√x2

− x + 1

;

10.

√1 − 4x − 3x2

− 7

Домашнi завдання

Знайти iнтеграли:

1. Z

+ 1 ;

2. Z

√x2 + 2 ;

√4 x3

√xdx

x3dx

3. Z

√

4. Z

;

3 (x + 1)2 +

√3 x + 1 + 1 ;

√4 x

− √x

;

4x dx

;

√3 x +

√x

3 (3x

8)2

√3

+ 4

;

−dx −

. −

(x + 1)√1 + x2

(x + 1)√2 − x − x2

Самостiйна робота

Знайти iнтеграли:

;

2. Z

√x2

+ 6x + 13

;

1. Z

√1 − x + x2

− 8

3x + 4

3. Z

√2x2

4. Z

− x + 5

;

√2 − 3x − x2

;

4x + 3

7x −

5. Z

6. Z

x√1 + x − x2 ;

x√x2 + x − 2 ;

7. Z

(x + 1)√x2

− x + 1 ;

8. Z

(x + 1)√x2 − x − 1 ;

(x + 1)√x2

+ x + 1

;

10.

3− 1)√x2

− x + 1

;

11.

2 + √x + 4

;

12.

√xx + 1

;

x dx

13.

14.

√x + 3 ;

x − 3 dx;

√x + 2

15.

;

16.

;

(1 +

√3 x + 1)√x + 1

√x + 1

−

√x + 1

√4 x +

√x

(

x + √6 x5

17.

p√x + 1 +

√3 x + 1

dx;

18.

dx;

3 (x + 1)2

√6 x + 1

√3

1)(√

+ 1)

√3

19.

dx;

20.

dx;

x x(1 +

√3 x)

√2x + 1

+ x +

√x

√2x + 1 +

√2x + 1

21.

22.

;

√3 x − 1x+−√6 x − 1 dx;

√3 x + 3 + √6 x + 3

√

√x + 3 dx

23.

;

24.

;

(√3 x + 1)√x

√3x + 1 + 2√3

3x + 1

√x

−

√3x + 1 + 2

25.

;

26.

√3 x

−√6

3 (2x + 1)2 − √2x + 1

−

x − 1 dx;

√x

√3 x

√6

x dx

3x + 1 + 1

27.

√

;

28.

dx;

1 − √4

√

−

√3

3x + 1

√

+ √

+ √3

29.

x − 4√3

;

30.

√3

)

dx.

x(1 +

§14. Означений iнтеграл

Нехай функцiя f(x) визначена на вiдрiзку [a, b]. Розiб’ємо цей вiдрiзок на n довiльних частин точками:

a = x0 < x1 < · · · < xi−1 < xi < · · · xn−1 < xn = b.

Сукупнiсть точок x0, x1, . . . , xn позначимо через τ i назвемо τ-розбит- тям вiдрiзка [a, b]. На кожному з вiдрiзкiв [xi−1, xi], i=1, 2, . . . , n, вiзьмемо довiльну точку ξi [xi−1, xi] i побудуємо суму

n
Xi	(1)
σn = f(ξi)Δxi,	(1)
=1

де xi = xi − xi−1 – довжина вiдрiзка [xi−1, xi].

Сума (1) називається iнтегральною сумою функцiї f(x), яка вiдповiдає τ-розбиттю вiдрiзка [a, b] та вибору точок ξi.

Позначимо через λ довжину найбiльшого частинного вiдрiзка τ-роз- биття i назвемо його дiаметром цього розбиття:

λ = λ(τ) = max xi.

1≤i≤n

Якщо iснує скiнченна границя iнтегральної суми (1) при λ → 0, яка не залежить нi вiд τ-розбиття, нi вiд вибору точок ξi, то ця границя називається визначеним iнтегралом функцiї f(x) на вiдрiзку [a, b] i по-

значається символом f(x) dx. Отже, згiдно з означенням,

a
b	n
Z	n
Z	= λ→0 X	i	i	.	(2)
f(x) dx	lim	f(ξ	)Δx	.	(2)

ai=1

Уцьому випадку функцiя f(x) називається iнтегровною на вiдрiзку [a, b]. Числа a i b називаються вiдповiдно нижньою i верхньою межею iнтегрування; функцiя f(x) – пiдiнтегральною функцiєю; f(x) dx – пiдiнтегральним виразом; x – змiнною iнтегрування; [a, b] – промiжком iнтегрування.

Якщо f(x) ≥ 0 на вiдрiзку [a, b], то геометрично означений iнтеграл виражає площу фiгури, обмеженої кривою y = f(x), вiссю Ox i прямими x = a i x = b.

Основнi властивостi означеного iнтеграла

	b	b	b
1. Za	[f(x) ± ϕ(x)]dx = Za	f(x)dx ± Za	ϕ(x)dx.

2.Cf(x) dx = C f(x) dx, C = const.

3. f(x)dx = − f(x) dx.

	b	c		b
4. Za		f(x) dx = Za	f(x) dx + Zc	f(x) dx.
	Якщо f(x) ≥ 0 на [a, b] i a < b, то Za				b
5.	Якщо f(x) ≥ 0 на [a, b] i a < b, то Za				f(x) dx ≥ 0.
						b	b
6.	Якщо ϕ(x) ≤ f(x), x [a, b] i a < b, то Za					ϕ(x) dx ≤ Za	f(x) dx.
7.	Якщо m = min f(x), M = max f(x), a < b, то
		x [a,b]		x [a,b]

m(b − a) ≤ f(x) dx ≤ M(b − a).

8. Якщо f(x) неперервна на [a, b], то iснує хоча б одна точка x = c, a ≤ c ≤ b, така що

f(x) dx = f(c)(b − a).

9. Якщо F (x) – первiсна функцiї f(x), то

f(x) dx = F (b) − F (a) = F (x) .

Ця формула називається формулою Ньютона–Лейбнiца.

Аудиторнi завдання

Обчислити iнтеграли:

(√

− √3

)dx;

x ln2 xdx;

sin3 ϕdϕ;

x3 + x

;

x2 + 4x + 5 ;

x√1 + ln x;

5. Z

2x − 1

	1
7.	8	√1 + x;
7.	Z3	√1 + x;
		x dx

10. √

1 + 2x + 1

1					0
	π					π
8.	2		cos x− cos3 xdx;	9.		2	2 cos x + 3 ;
8.	Zπ		cos x− cos3 xdx;	9.	Z		2 cos x + 3 ;
								dx
− 2		p			0
	π					3
; 11.	2	x cos x dx;		12.		3		x√x2+5x+1 .
; 11.	Z	x cos x dx;		12.		Z		x√x2+5x+1 .
									dx

0 0 1

Домашнi завдання

Обчислити iнтеграли:

1.	2	2x2 + x4	dx;	2.	4	3.	2
1.	Z	2x2 + x4	dx;	2.	Z √xdx;	3.	Z p4 − x2dx;
		2

	1
4.	5	2x +	√3x + 1 ;
4.	Z	2x +	√3x + 1 ;
			dx


1		√				0
9						4	x dx
				x
5. Z	√		− 1		dx;	6. Z	1 + √		;
		x						x

	0							4			0
	√							π
7.	Z0	3					8.	4	√7 cos2 x;	9.	2	x2 + 3x + 2 ;
7.	Z0		x arctg x dx;				8.	Z0	√7 cos2 x;	9.	Z0	x2 + 3x + 2 ;
									sin x dx			x dx
		1				+ 3x2 + 1
10.		Z0		3x	4	+ 3x2 + 1	dx.
10.		Z0				x2 + 1	dx.

Самостiйна робота

Обчислити iнтеграли:

	√								π
	√	3				1			π
		3				1	2		2
1.	Z	x	3	1 + x2dx;	2.	Z	2	3.	Z	sin x cos2 x dx;
1.	Z	x	3	1 + x2dx;	2.	Z	x2x+ 1 dx;	3.	Z	sin x cos2 x dx;
			p

	π
4.	2	1	+ cos xdx;
4.	Z0	1	+ cos xdx;
			cos x
	π
	2		−
7.	Z		−	dx	;
				dx

		1		cos2 x

10.x2e−x2 dx;

√25 + 3x;

dx;

5. Z0

1 + ln x

√5 + 4x x2 ;

4 + 5x4dx;

8. Z

9. Z x3

−

11.

arccos 2x dx;

12.

ln2 x

dx;

	−2						1									1
							−2
							√									1
	π						3									4
	Z0			x			Z1		1							Z0
13.		(x + 2) cos			dx;	14.			arctg				dx;		15.					x tg2 x dx;
13.		(x + 2) cos		2	dx;	14.			arctg			x	dx;		15.					x tg2 x dx;
																	√
	3						3										√		3
	3		4 5x2+3				3										3						2x2 + 4
	Z2		4 5x2+3				Z2				dx					Z0							2x2 + 4
16.			2x −		dx;	17.								;	18.									dx;
16.			x2 − 1		dx;	17.				x2(x − 1)				;	18.								x3−x2+x+1	dx;
							√
19.	2	(x + 1)(x2		+ 4) ;		20.	√	2							21.	1						x2√1 + x2 ;
19.	Z	(x + 1)(x2		+ 4) ;		20.	Z			2 − x2dx;					21.	Z						x2√1 + x2 ;
			dx																				dx
	0						1		p							1
																√
																√		3
	π						π										π
22.	2	2 + cos x;				23.	4		sin3 2x dx;						24.	2					sin2 x + 1 dx;
22.	Z0	2 + cos x;				23.	Z0		sin3 2x dx;						24.	Z0					sin2 x + 1 dx;
			dx																				cos x
	π						π
	4						2
25.	Z0	sin 3x cos 5x dx;				26.	Z0		cos x cos 3x cos 5x dx.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025270.85 Кб0Розділ_9_10.doc
#
01.05.2025216.58 Кб0розмноження.doc
#
10.09.2019153.6 Кб2РОЗРОБКА СТРАТЕГІЇ МАРКЕТИНГУ.doc
#
01.05.20251.22 Mб0РОЛЬ СТВОЛА МОЗГА И МОЗЖЕЧКА В РЕГУЛЯЦИИ ПОЗЫ И...doc
#
01.04.2025122.07 Mб0РТС. Конспект лекцій.doc
#
07.02.2016703.72 Кб82Рудницький В.Б._ Вища матем в правах и задачах.pdf
#
23.08.2019260.1 Кб2Рук1.doc
#
17.08.2019101.15 Кб10с пылью и сором.docx
#
01.05.2025580.1 Кб0С.. Zapiska_DP1 (2).doc
#
04.11.2018272.38 Кб4Сам раб БМ 1.doc
#
13.11.2018584.7 Кб9Сам робота ділова нова.doc