- •Скласти двоїсту задачу та визначити методи її розв’язання.
- •Привести злп до канонічної форми.
- •Знайти оптимальне рішення злп на першому етапі двохетапного симплекс-метода.
- •Визначити всі методи розв’язання злп. Знайти оптимальне рішення одним з них.
- •Метод Гомори
- •Розв’язати злп графічним методом.
- •Скласти двоїсту задачу та знайти її рішення.
-
Визначити всі методи розв’язання злп. Знайти оптимальне рішення одним з них.
mах Z=X1 +6Х2
при 2X1 + 4Х2 12
4Х1 + 5Х2 20
X1,X2 0
Метод Гомори
Решим прямую задачу линейного программирования симплекс-методом.. Определим максимальное значение целевой функции F(X) = x1 + 6x2 при следующих условиях-ограничений. 2x1 + 4x2≥12 4x1 + 5x2≥20 Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x3 со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x4 со знаком минус. 2x1 + 4x2-1x3 + 0x4 = 12 4x1 + 5x2 + 0x3-1x4 = 20 Введем новую переменную x0 = x1 + 6x2. Выразим базисные переменные <3, 4> через небазисные. x0 = 0+x1+6x2 x3 = -12+2x1+4x2 x4 = -20+4x1+5x2 Среди свободных членов в системе уравнений есть отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Выберем из них наибольший по модулю, а в его уравнении – любой отрицательный. Чтобы теперь выразить все переменные через небазисные, в выражении для x4 выразим x1 и подставим полученное выражение во все остальные равенства. x0 = 5+19/4x2+1/4x4 x3 = -2+3/2x2+1/2x4 x1 = 5-5/4x2+1/4x4 Среди свободных членов в системе уравнений есть отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Выберем из них наибольший по модулю, а в его уравнении – любой отрицательный. Чтобы теперь выразить все переменные через небазисные, в выражении для x3 выразим x2 и подставим полученное выражение во все остальные равенства. x0 = 34/3+19/6x3-4/3x4 x2 = 4/3+2/3x3-1/3x4 x1 = 10/3-5/6x3+2/3x4 В базисном столбце все элементы положительные. Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. Поскольку задача решается на максимум, то переменную для включения в текущий план выбирают по максимальному положительному числу в уравнении для x0. 1. Проверка критерия оптимальности. В выражении для x0 присутствуют отрицательные элементы. Следовательно, текущий план неоптимален 2. Определение новой базисной переменной. max(0,0,19/6,-4/3) = 19/6 x0 = 34/3+19/6x3-4/3x4 x2 = 4/3+2/3x3-1/3x4 x1 = 10/3-5/6x3+2/3x4 В качестве новой переменной выбираем x3. 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по всем уравнениям для этой переменной: bi / ai3 и из них выберем наименьшее: min (- , 31/3 : 5/6 ) = 4 Вместо переменной x1 в план войдет переменная x3. 4. Пересчет всех уравнений. Выразим переменную x3 через x1 x3 = 4-6/5x1+4/5x4 и подставим во все выражения. x0 = 111/3+31/6(4-6/5x1+4/5x4)-11/3x4 x2 = 11/3+2/3(4-6/5x1+4/5x4)-1/3x4 После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней: x0 = 24-19/5x1+6/5x4 x2 = 4-4/5x1+1/5x4 x3 = 4-6/5x1+4/5x4 Полагая небазисные переменные x = (2, 3) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции: x = (19/5, 0, 0, -6/5), x0 = 24 Окончательный вариант системы уравнений: x0 = 24-19/5x1+6/5x4 x2 = 4-4/5x1+1/5x4 x3 = 4-6/5x1+4/5x4 Последняя строка содержит отрицательные элементы. Пространство допустимых решений неограниченно. Решения не существует.