5. Алгоритм симплекс-метода.

Алгоритм симплекс-метода включает следующие этапы:

1. Составление первого опорного плана. Переход к канонической форме задачи линейного программирования путем введения неотрицательных дополнительных балансовых переменных.

2. Проверка плана на оптимальность. Если найдется хотя бы один коэффициент индексной строки меньше нуля, то план не оптимальный, и его необходимо улучшить.

3. Определение ведущих столбца и строки. Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбирается наибольший по абсолютной величине. Затем элементы столбца свободных членов симплексной таблицы делит на элементы того же знака ведущего столбца.

4. Построение нового опорного плана. Переход к новому плану осуществляется в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана—Гаусса. Если необходимо найти экстремум целевой функции, то речь идет о поиске минимального значения (F(x) → min, см. пример решения минимизации функции) и максимального значения ((F(x) → max, см. пример решения максимизации функции)

6. Теорія двоїстості. Двоїста задачі лінійного програмування.

          Правила побудови двоїстої задачi:

·                    максимiзацiя (мiнiмiзацiя) цiльової функцiї прямої задачi замiнюється на мiнiмiзацiю(максимiзацiю) цiльової функцiї двоїстої задачi;

·                    якщо цiльова функцiя задачi максимiзується (мiнiмiзується), то всi обмеження-нерiвностi повиннi вiдповiдно мати знак"?" ("?"); коефiцiєнти цiльвої функцiї прямої задачi є вiльними членами обмежень двоїстої задачi, а правi частини обмежень прямої задачi - коефiцiєнтами цiльової функцiї двоїстої задачі;

·                    матриця коефiцiєнтiв обмежень двоїстої задачi є транспонованою по вiдношенню до матрицi коефiцiєнтiв обмежень прямої задачi;

·                    кількість змiнних однiєї задачi дорiвнює кількості обмежень другої; кожному обмеженню-нерiвностi прямої задачi вiдповiдає невiд'ємна змiнна двоїстої задачi i навпаки.  

Двоїстий симплекс-метод, так як і симплекс-метод,

використовується при знаходженні розв’язку задачі лінійного

програмування, записаної у формі основної задачі, для якої серед

векторів Рі, складених з коефіцієнтів при невідомих в системі рівнянь,

маючи m одиничних. Разом з тим двоїстий симплекс-метод можна

застосовувати при розв’язанні задачі лінійного програмування, вільні

члени системи рівнянь котрими можуть бути любі числа (при розв’язку

задачі симплексним методом ці числа припускаються невід’ємними). Таку

задачу і розглянемо тепер, попередньо припустивши, що одиничними

являються вектори P1, P2, ... , Pm.

7. Співвідношення між прямою та двоїстою злп.

Кожна задача лінійного програмування пов’язана з іншою, так званою двоїстою задачею.

Економічну інтерпретацію кожної з пари таких задач розглянемо на прикладі виробничої задачі.

Пряма задача :

max F = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (3.1)

економічний двоїстий лінійний програмування

за умов: (3.2)

. (3.3)

Необхідно визначити, яку кількість продукції кожного j- го виду необхідно виготовляти в процесі виробництва, щоб максимізувати загальну виручку від реалізації продукції підприємства. Причому відомі: наявні обсяги ресурсів – ; норми витрат і- го виду ресурсу на виробництво одиниці j- го виду продукції –, а також – ціни реалізації одиниці j-ої продукції.

Розглянемо тепер цю саму задачу з іншого погляду. Допустимо, що за певних умов доцільно продавати деяку частину чи всі наявні ресурси. Необхідно визначити ціни ресурсів. Кожному ресурсу поставимо у відповідність його оцінку . Умовно вважатимемо, що – ціна одиниці і- го ресурсу.

На виготовлення одиниці j- го виду продукції витрачається згідно з моделлю (3.1) – (3.3) m видів ресурсів у кількості відповідно . Оскільки ціна одиниці і- го виду ресурсу дорівнює , то загальна вартість ресурсів, що витрачаються на виробництво одиниці j- го виду продукції, обчислюється у такий спосіб:

.

Продавати ресурси доцільно лише за умови, що виручка, отримана від продажу ресурсів, перевищує суму, яку можна було б отримати від реалізації продукції, виготовленої з тих самих обсягів ресурсів, тобто:

.

Зрозуміло, що покупці ресурсів прагнуть здійснити операцію якнайдешевше, отже, необхідно визначити мінімальні ціни одиниць кожного виду ресурсів, за яких їх продаж є доцільнішим, ніж виготовлення продукції. Загальну вартість ресурсів можна виразити формулою:

.

Отже, в результаті маємо двоїсту задачу :

(3.4)

за умов: (3.5)

(3.6)

Тобто необхідно визначити, які мінімальні ціни можна встановити для одиниці кожного і- го виду ресурсу , щоб продаж ресурсів був доцільнішим, ніж виробництво продукції.

Зауважимо, що справжній зміст величин – умовні ціни, що виражають рівень «цінності» відповідного ресурсу для даного виробництва. Англійський термін «shadowprices» у літературі перекладають як «оцінка» або «тіньова, неявна ціна». Академік Л.В. Канторович назвав їх об’єктивно обумовленими оцінками відповідного ресурсу.

Задача (3.4) – (3.6) є двоїстою або спряженою до задачі (3.1) – (3.3), яку називають прямою (основною, початковою). Поняття двоїстості є взаємним. По суті мова йде про одну і ту ж задачу, але з різних поглядів. Дійсно, не важко переконатися, що двоїста задача до (3.4) – (3.6) збігається з початковою. Тому кожну з них можна вважати прямою, а іншу – двоїстою. Симетричність двох таких задач очевидна. Як у прямій, так і у двоїстій задачі використовують один набір початкових даних: , ; . Крім того, вектор обмежень початкової задачі стає вектором коефіцієнтів цільової функції двоїстої задачі і навпаки, а рядки матриці А (матриці коефіцієнтів при змінних з обмежень прямої задачі) стають стовпцями матриці коефіцієнтів при змінних в обмеженнях двоїстої задачі. Кожному обмеженню початкової задачі відповідає змінна двоїстої і навпаки.

Початкова постановка задачі та математична модель може мати вигляд як (3.1) – (3.3), так і (3.4) – (3.6). Отже, як правило, кажуть про пару спряжених задач лінійного програмування.