Алгоритм Флойда

Этот алгоритм решает задачу нахождения кратчайших путей между всеми парами вершин графа. Более строгая формулировка этой задачи следующая: есть ориентированный граф G = (V, Е), каждой дуге (v, w) этого графа сопоставлена неотрицательная стоимость C[v, w]. Общая задача нахождения кратчайших путей заключается в нахождении для каждой упорядоченной пары вершин (v, w) любого пути из вершины v в вершину w, длина которого минимальна среди всех возможных путей из вершины v к w.

Можно решить эту задачу, последовательно применяя алгоритм Дейкстры для каждой вершины, объявляемой в качестве источника. Но существует прямой способ решения данной задачи, использующий алгоритм Флойда. Для определенности положим, что вершины графа последовательно пронумерованы от 1 до n. Алгоритм Флойда использует матрицу A размера n×n, в которой вычисляются длины кратчайших путей.

В начале A[i, j] = C[i, j] для всех i < > j. Если дуга (i, j) отсутствует, то C[i, j] = ∞. Каждый диагональный элемент матрицы A равен 0. Над матрицей A выполняется n итераций. После k-й итерации A[i, j] содержит значение наименьшей длины путей из вершины i в вершину j, которые не проходят через вершины с номером, большим k. Другими словами, между концевыми вершинами пути i и j могут находиться только вершины, номера которых меньше или равны k (рис. 5).

На k-й итерации для вычисления матрицы A применяется следующая формула: А_k[i, j] = min(A_k–1[i, j], A_k–1[i, k] + A_k–1[k, j]).

Нижний индекс k обозначает значение матрицы А после k-й итерации, но это не означает, что существует n различных матриц, этот индекс используется для сокращения записи.

Равенства A_k[i, k] = A_k–1[i, k] и A_k[k, j] = A_k–1[k, j] означают, что на k-й итерации элементы матрицы A, стоящие в k-й строке и k-м столбце, не изменяются. Более того, все вычисления можно выполнить с применением только одного экземпляра матрицы A. Представим алгоритм Флойда в виде следующей процедуры:

procedure Floyd (var A: array[1..n, 1..n] of real;

С: аrrау[1..n, 1..n] of real);

var

i, j, k: integer;

begin

for i := 1 to n do

for j := 1 to n do A[i, j] := C[i, j];

for i := 1 to n do A[i, i] := 0;

for k := 1 to n do

for i := 1 to n do

for j : = 1 to n do

if (A[i, k] + A[k, j]) < A[i, j] then

A[i, j] := A[i, k] + A[k, j];

end;

Рисунок 5 – Алгоритм Флойда

Следует заметить, что если в графе существует контур отрицательной суммарной длины, то вес любого пути, проходящего через вершину из этого контура, можно сделать сколь угодно малой, «прокрутившись» в контуре необходимое количество раз. Поэтому поставленная задача разрешима не всегда. В случае, описанном выше, алгоритм Флойда не применим. Останавливаясь подробнее надо заметить, что если граф неориентированный, то ребро с отрицательным весом является как раз таким контуром (проходя по нему в обоих направлениях столько раз пока не сделаем вес достаточно малым).

Заметим, что если граф неориентированный, то все матрицы, получаемые в результате преобразований симметричны и, следовательно, достаточно вычислять только элементы расположенные выше главной диагонали.

Время выполнения этого алгоритма, очевидно, имеет порядок O(n³), поскольку в нем присутствуют вложенные друг в друга три цикла.