3. Нахождение кратчайшего пути
Здесь рассматриваются алгоритмы нахождения путей в ориентированном графе. Эти алгоритмы работают на ориентированном графе, у которого все дуги имеют неотрицательные метки (стоимости дуг). Задача алгоритмов состоит в нахождении кратчайших путей между вершинами графа. Длина пути здесь определяется как сумма меток (длин) дуг, составляющих путь.
Алгоритм Дейкстры
Алгоритм голландского ученого Эдсгера Дейкстры находит все кратчайшие пути из одной изначально заданной вершины графа до всех остальных. С его помощью, при наличии всей необходимой информации, можно, например, узнать какую последовательность дорог лучше использовать, чтобы добраться из одного города до каждого из многих других, или в какие страны выгодней экспортировать нефть и тому подобное. Минусом данного метода является невозможность обработки графов, в которых имеются ребра с отрицательным весом, т. е. если, например, некоторая система предусматривает убыточные для Вашей фирмы маршруты, то для работы с ней следует воспользоваться отличным от алгоритма Дейкстры методом.
Этот алгоритм находит в графе кратчайший путь из заданной вершины, определенной как источник, во все остальные вершины. В процессе своей работы алгоритм строит множество S вершин, для которых кратчайшие пути от источника уже известны. На каждом шаге к множеству S добавляется та из оставшихся вершин, расстояние до которой от источника меньше, чем для других оставшихся вершин. При этом используется массив D, в который записываются длины кратчайших путей для каждой вершины. Когда множество S будет содержать все вершины графа, тогда массив D будет содержать длины кратчайших путей от источника к каждой вершине.
Помимо указанных массивов, в алгоритме Дейкстры используется матрица длин C, где элемент C[i, j] – метка (длина) дуги (i, j), если дуги нет, то ее длина полагается равной бесконечности, т. е. больше любой фактической длины дуг. Фактически, матрица C представляет собой матрицу смежности, в которой все нулевые элементы заменены на бесконечность.
Для определения самого кратчайшего пути (т. е. последовательности вершин) необходимо ввести еще один массив P вершин, где P[v] содержит вершину, непосредственно предшествующую вершине v в кратчайшем пути (рис. 4).
Алгоритм:
procedure Dijkstra;
begin
S := источник;
for i := 2 to n do begin
D[i] := C[источник, i];
P[i] := источник;
end;
for i := 1 to n-1 do begin
выбор из множества V\S такой вершины w,
что значение D[w] минимально;
добавить w к множеству S;
for каждая вершина v из множества V\S do begin
D[v] := min(D[v], D[w] + C[w, v]);
if D[w] + C[w, v]< D[v] then P[v] := w;
end;
end;
end;
Рисунок 4 – Алгоритм Дейкстры
После выполнения алгоритма кратчайший путь к каждой вершине можно найти с помощью обратного прохождения по предшествующим вершинам массива P, начиная от конечной вершины к источнику.
Время выполнения этого алгоритма, если для представления графа используется матрица смежности, имеет порядок O(n2), где n – количество вершин графа.