2.5. Ранг системы векторов

Определение 2.5. Рангом системы векторов в линейном пространстве называют размерность линейной оболочки этой системы векторов.

Теорема 2.6. Ранг системы векторов линейного пространства равен:

а) максимальному количеству линейно независимых векторов в системе а;

б) рангу матрицы, составленной по столбцам из координат векторов каком-либо базисе линейного пространства .

Пусть g – некоторый базис в . Составим по столбцам матрицуА из координат в базисе g векторов . Линейные операции над векторами соответствуют таким же линейным операциям над столбцами их координат. Поэтому, согласно следствию 1.1, векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда столбцы их координат линейно независимы. По теореме о базисном миноре ранг матрицыА равен максимальному количеству ее линейно независимых столбцов. Это совпадает с максимальным количеством линейно независимых векторов в системе . Следовательно, утверждения а) и б) теоремы эквивалентны.

Выберем в матрице А какой-либо базисный минор и зафиксируем столбцы этого минора (базисные столбцы). Соответствующие им векторы будем называть базисными. По теореме о базисном миноре, во-первых, базисные столбцы линейно независимы и поэтому базисные векторы образуют линейно независимую систему, а во-вторых, все остальные столбцы матрицы являются линейными комбинациями базисных и поэтому небазисные векторы системы выражаются через базисные. Сле­довательно, любая линейная комбинация векторов системы а сводится к линейной комбинации системы базисных векторов, т.е. любой вектор линейной оболочки системы векторов а выражается через базисные векторы. Значит, базисные векторы образуют базис линейной оболочки. Количество базисных векторов, с одной стороны, равно количеству базисных столбцов, т.е. рангу матрицы А, а с другой - совпадает с размерностью линейной оболочки, т.е. с рангом системы векторов .

Замечание 2.2. Как следует из приведенного доказательства, столбцы любого базисного минора матрицы А отвечают набору векторов системы являющемуся базисом в линейном подпространстве, порожденном этой системой векторов.

Пример 2.11. Пусть даны векторы в четырехмерном линейном пространстве , имеющие в некотором базисе столбцы координат,,. Соответствующая матрицаА имеет вид

Вычислив ранг матрицы, убеждаемся, что он равен 2. Таким образом, ранг системы векторов равен 2. Легко проверить, что любой минор второго порядка является базисным. Поэтому базисом линейной оболочки этой системы векторов будут

Вопросы и задачи

1. Может ли линейное подпространство состоять из: а) двух элементов; б) одного элемента; г) 100 элементов?

2. Может ли линейное подпространство конечномерного линейного пространства быть бесконечномерным?

3. Докажите, что бесконечномерное линейное пространство содержит собственные бесконечномерные линейные подпространства.

4. По аналогии с суммой двух линейных подпространств определите сумму конечного числа линейных подпространств.

5. Найдите максимальное число линейно независимых векторов в системе векторов, заданных своими координатами

в некотором базисе линейного пространства размерности 4.

2.7. Докажите, что линейным подпространством является множество всех векторов п-мерного линейного арифметического пространства, удовлетворяющих условию:

а) первые две координаты равны между собой;

б) первая координата равна нулю;

в) координаты удовлетворяют уравнению .

Найдите базис и размерность этого линейного подпространства.

2.8. Найдите размерность и базис линейной оболочки следующих векторов из :

.