2.2. Пересечение и сумма линейных подпространств

Пусть линейные подпространства в линейном пространстве .

Определение 2.2. Множество называют Пересечением линейных подпространств и. На рис. 2.4 видим, что два линейных подпространства, изображенные плоскостями, в пересечении дают прямую, также являющуюся представлением некоторого линейного подпространства (см. пример 2.1).

Теорема 2.1. Пересечение двух линейных подпространств и. в линейном пространстве я вляется линейным подпространством в.

Проверим, выполняется ли условие 1) определения 2.1. Если векторы и принадлежат , то каждый из этих векторов принадлежит как так и. Поскольку - линейное подпространство, то, согласно определению 2.1, заключаем, что вектор равный сумме векторов этого линейного подпространства, тоже принадлежит . Аналогично так как каждое из слагаемых является элементом линейного подпространства . Следовательно, .

Проверим условие 2) определения 2.1. Выберем произвольный вектор . Тогда и . Так как является линейным подпространством, то произведение элемента х этого линейного подпространства на произвольное действительное число принадлежит . Но совершенно аналогично вектор - Поэтому .

Итак, оба условия определения 2.1 выполнены. Следовательно, является линейным подпространством.

Определение 2.3. Множество всех векторов вида , где и , называютсуммой линейных подпространств и .

На рис. 2.5 линейные подпространства и представлены несовпадающими прямыми, проходящими через фиксированную точку О. Их сумма представляется плоскостью, содержащей обе прямые.

Теорема 2.2. Сумма линейных подпространств данного линейного пространства является линейным подпространством в том же линейном пространстве.

Рассмотрим два вектора из множества. Согласно определению 2.3, имеют место представления

где векторы . Складывая эти равенства, получаем

Сумма векторов и линейного подпространства принадлежит . Точно так же сумма векторов и линейного подпространства принадлежит . Поэтому вектор принадлежит множеству .

Условие 2) определения 2.1 проверяется аналогично. Произвольный вектор имеет представление , где и . Для любого действительного числа получаем равенства

Так как вектор , а то вектор является элементом множества.

Мы доказали, что множество замкнуто относительно линейных операций объемлющего линейного пространства и поэтому, согласно определению 2.1, оно является линейным подпространством.

Пример 2.6. Рассмотрим две однородные системы линейных алгебраических уравнений.

Множества решений этих систем представляют собой линейные подпространства и линейного арифметического пространства . Объединив обе системы в одну, получим новую однородную систему, множеством решений которой будет линейное подпространство

Пример 2.7. Рассмотрим две системы векторов и внекотором линейном пространстве . Линейные оболочки этих систем представляют собой линейные подпространства ив. Если мы объединим обе системы в одну, то у новой, объединенной системы линейной оболочкой будет линейное подпространство. В самом деле, любой вектор разлагается в сумму, где и . Векторы и представляются в виде линейной комбинации, первый - векторов , второй - векторов. Значит, их сумма представляется линейной комбинацией векторовт.е. векторx принадлежит . Предположим теперь, что вектор х принадлежит указанной линейной оболочке, т.е. имеет место представление

Положив и

приходим к представлению в котором и . Значит,

Пример 2.8. Линейное подпространство из примера 2.5, являющееся линейной оболочкой , можно представить как сумму подпространств и

Рис. 2.6