6. В линейном пространстве действует линейный оператор , переводящий ортонормированный базис в элементы такие, что

,

,

.

Найти все подпространства пространства , инвариантные относительно оператора .

Прежде всего укажем тривиальные инвариантные подпространства и . Для нахождения остальных инвариантных подпространств найдем собственные значения и собственные векторы оператора . Характеристический многочлен матрицы А_е имеет вид

Его корни являются собственными значениями оператора .

Чтобы найти собственные векторы, нужно решить систему линейных уравнений при , равных собственным значениям оператора . При система принимает вид

Так как число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы равен 2, то размерность пространства решений равна 1. Решая, находим фундаментальную систему решений, состоящую из одного столбца . Это столбец координат собственного вектора , отвечающего собственному значению в базисе . Одномерное инвариантное относительно оператора подпространство, соответствующее собственному значению , есть линейная оболочка , , где с — произвольное вещественное число.

При система принимает вид

Как и в предыдущем случае, одномерное инвариантное относительно оператора подпространство, соответствующее собственному значению , есть линейная оболочка , где с — произвольное вещественное число, а — собственный вектор, отвечающий и имеющий в базисе координаты .

Наконец, при система принимает вид

Ранг матрицы тоже равен 2. Поэтому инвариантное относительно оператора подпространство, соответствующее собственному значению , имеет размерность 1 и представляет собой линейную оболочку , где с — произвольное вещественное число, а — собственный вектор, отвечающий и имеющий в базисе координаты .

Далее, линейные оболочки — , ,, ,, где — произвольные вещественные числа, являются двумерными инвариантными относительно оператора подпространствами. Действительно, например, для имеем

Других инвариантных относительно оператора подпространств нет.

1. Ортогональный оператор.

Определение. Линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве, называется ортогональным, если для любых элементов x, y из этого пространства выполняется равенство (x, у) = (х, у).

Иными словами, ортогональный оператор — это линейный оператор, сохраняющий скалярное произведение элементов: скалярное произведение образов x и y равно скалярному произведению их прообразов x и у.

Свойства ортогонального оператора.

1°. Ортогональный оператор не изменяет нормы элементов, т. е. .

2°. Если — ортогональный оператор, то существует обратный к нему оператор , который также является ортогональным, и справедливо равенство

, (1)

т. е. обратный оператор к ортогональному оператору совпадает с сопряженным оператором ,. Равенство (1) можно записать в эквивалентных формах:

, или , (2)

где — тождественный оператор.

Свойства 1° и 2° являются характеристическими свойствами ортогонального оператора, т. е. линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве и не изменяющий нормы элементов, является ортогональным оператором, и точно так же линейный оператор, для которого справедливо равенство (1) или (2), является ортогональным оператором. Поэтому свойства 1° и 2° могут быть положены в основу определения ортогонального оператора.

3°. Ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис, и, обратно, если линейный оператор переводит какой-нибудь ортонормированный базис в ортонормированный базис, то — ортогональный оператор.

4°. В любом ортонормированном базисе матрица Q ортогонального оператора является ортогональной матрицей, т. е. удовлетворяет условию . Это условие можно записать в эквивалентных формах:

или .

Обратно: если в некотором ортонормированном базисе матрица оператора Q ортогональная, то — ортогональный оператор.

5°. Если число — собственное значение ортогонального оператора, то или .