5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

5.1 Собственные векторы и собственные значения. Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве .

Определение. Ненулевой элемент х из называется собственным вектором линейного оператора , если существует число такое, что . Число называется при этом собственным значением оператора . Говорят также, что собственный вектор х отвечает (или соответствует) собственному значению .

Свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора.

1°. Если — различные собственные значения оператора , то отвечающие им собственные векторы линейно независимы.

2°. Линейный оператор, действующий в линейном пространстве размерности n, не может иметь более п различных собственных значений.

3°. Если линейный оператор , действующий в линейном пространстве размерности n, имеет п различных собственных значений , то отвечающие им собственные векторы образуют базис пространства . Матрица оператора в этом базисе имеет вид , где — символ Кронекера.

4°. Множество, содержащее нулевой элемент и все собственные векторы линейного оператора , отвечающие собственному значению , является подпространством линейного пространства .

Подпространство называется собственным подпространством оператора , отвечающим собственному значению .

5.2 Характеристическое уравнение. Пусть — матрица линейного оператора в базисе , E - единичная матрица. Составим определитель . Он является многочленом степени п относительно и называется характеристическим многочленом оператора .

Уравнение

(1)

называется характеристическим уравнением оператора .

Характеристический многочлен, а значит, и характеристическое уравнение данного оператора, не зависит от выбора базиса, т. е. в любом базисе коэффициенты характеристического многочлена одни и те же.

Cпособ отыскания собственных векторов и собственных значений линейного оператора .

1. Находим собственные значения оператора, решая уравнение (1). Обозначим их .

2. Для каждого собственного значения находим все ненулевые решения однородной системы уравнений

(2)

Каждое ненулевое решение X этой системы является столбцом координат в базисе собственного вектора оператора , соответствующего собственному значению .

Замечание. Собственное значение линейного оператора называется также собственным значением матрицы , а ненулевое решение системы (2) (столбец X) называется собственным вектором матрицы . Во многих разделах математики и ее приложений рассматриваются именно собственные значения и собственные векторы матриц, вне связи их с линейными операторами.

2.3 Инвариантные подпространства линейных операторов.

Определение. Подпространство М линейного пространства называется инвариантным относительно линейного оператора , если для любого элемента х из М его образ также принадлежит М.

Примеры.

1. Подпространство, состоящее из одного нулевого элемента , является инвариантным подпространством относительно любого линейного оператора.

2. Само линейное пространство является инвариантным относительно любого линейного оператора, действующего в этом пространстве.

3. Подпространства и называются тривиальными инвариантными подпространствами линейного оператора.

4. Собственное подпространство линейного оператора , отвечающее собственному значению , является инвариантным относительно оператора .

5. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора , действующего в линейном пространстве радиус-векторов и имеющего в ортонормированном базисе матрицу Так как

то характеристическое уравнение оператора имеет вид . Корни этого уравнения и — собственные значения оператора А. Собственное значение называется двукратным собственным значением.

Чтобы найти координаты собственных векторов, нужно решить систему уравнений (2) при и

При система уравнений (2) принимает вид

Так как число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы равен 2, то размерность пространства решений равна 1. Решая, находим фундаментальную систему решений, состоящую из одного столбца . Это столбец координат собственного вектора , отвечающего собственному значению в базисе . Множество всех собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеет вид , где — произвольное вещественное число, не равное нулю.

При система уравнений (2) принимает вид

В этой системе уравнений число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы равен 1. Поэтому размерность пространства решений равна 2. Решая, находим фундаментальную систему решений, состоящую из двух столбцов

.

Эти столбцы представляют собой координаты в базисе двух линейно независимых собственных векторов и , отвечающих собственному значению . Все множество собственных векторов, соответствующих собственному значению , дает линейная комбинация векторов , где и — произвольные вещественные числа, одновременно не равные нулю.

6. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы

Характеристический многочлен матрицы А имеет вид

Его трехкратный корень является собственным значением матрицы А. Чтобы найти собственные векторы, нужно решить систему уравнений

В этой системе число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы равен 2. Поэтому размерность пространства решений равна 1. Решая, находим фундаментальную систему решений, состоящую из одного столбца . Таким образом, множество всех собственных векторов матрицы А есть множество столбцов вида , где — произвольное число, не равное нулю.

6. Три материальных точки единичной массы соединены между собой и со стенкой тремя пружинами с коэффициентами жесткости , , (рис. 4). Найти собственные частоты и формы малых собственных колебаний данной системы.

рис. 4

Прежде всего, уточним постановку задачи. Положение равновесия материальных точек , соответствующее нерастянутым пружинам, отметим на оси х точками . Если сжать или растянуть пружины каким-то образом, а затем отпустить их, то начнется колебательное движение системы. Будем пренебрегать силами трения и массами пружин. В произвольный момент времени t точки занимают какие-то положения . Величины направленных отрезков и на оси x, характеризующие отклонения точек от положения равновесия, обозначим через . Если эти величины изменяются со временем по закону

,

то ; называется собственной частотой системы, а отношения будем называть формой собственных колебаний, совершаемых с частотой .

Для отыскания собственных частот и соответствующих им форм колебаний составим уравнения движения материальных точек . На каждую из этих точек действуют силы, обусловленные жесткостью пружин. Согласно закону Гука при малом растяжении пружины упругая сила, стремящаяся вернуть пружину в первона­чальное (нерастянутое) положение, пропорциональна величине растяжения. Величины растяжений первой, второй и третьей пружин в момент t равны соответственно (см. рис. 4). Поэтому на точку в момент t со стороны первой пружины действует сила , а со стороны второй пружины — сила . Обратите внимание на знаки выражений для и . Если , то первая пружина в момент t растянута по отношению к положению равновесия, упругая сила стремится сжать пружину, и, следовательно, на точку со стороны первой пружины действует сила, направленная влево, т. е. . Если , то первая пружина сжата, упругая сила стремится растянуть ее, и поэтому на точку действует сила, направленная вправо, т. е. . Аналогично, если , то вторая пружина растянута, сила упругости стремится сжать ее, и поэтому со стороны второй пружины на точку действует сила, направленная вправо: . То же самое выражение для получается в случае .

Итак, результирующая сила, действующая на точку , есть сила

По второму закону Ньютона произведение массы точки (она равна единице) на ускорение точки (ускорение есть вторая производная по времени от смещения x) равно результирующей силе

Аналогично, на точки и действуют результирующие силы

и .

Поэтому уравнения движения этих точек имеют вид

,

Будем искать решение системы дифференциальных уравнений

в виде (3). Подставляя (3) в систему, приходим к виду

(6)

где — известная матрица, составленная из коэффициентов правых частей уравнений, — искомый столбец “амплитуд”, — квадрат искомой собственной частоты, взятый со знаком минус.

Таким образом, для отыскания собственных частот нужно найти собственные значения матрицы С, а для нахождения формы собственных колебаний нужно найти соответствующие собственные векторы.

Учитывая, что , , , получаем следующее ха­рактеристическое уравнение матрицы С:

Оно имеет корни , , . Следовательно, , , , т. е. собственными частотами колебательной системы будут

, ,

Решая для каждого собственного значения систему (6), находим собственные векторы матрицы С — столбцы

где с — произвольное число, не равное нулю. Отношения элементов столбца определяют форму собственных колебаний с частотой . Так, форма собственных колебаний с частотой задается отношениями: .