19.2. Исчисление высказываний

Исчисление высказываний является простым примером формальной аксиоматической теории [19]. Порождение тождественно-истинных высказываний и является основной задачей исчисления высказываний.

Построим формальную аксиоматическую теорию исчисления высказываний в одном из возможных ее вариантов.

1. Алфавит исчисления высказываний состоит из:

а) высказывательных переменных, которые будем обозначать прописными буквами X,Y,…,Z;

б) символов логических операций, из которых выберем импликацию  и инверсию ¯ (можно показать, что такая система соответствующих логических функций является функционально полной);

в) скобок (, ).

2. Формулы исчисления высказываний:

а) все переменные – формулы;

б) если А и В – формулы, то () и (АВ) тоже формулы.

Пример. Пусть А,В,С – формулы.

Тогда: (С(АВ)), ((()В)()) – тоже формулы.

Для сокращения записи опустим в формуле внешние скобки и те пары скобок, которые относятся к инверсии:

С(АВ), (В).

3. Аксиомы исчисления высказываний.

Аксиомы должны обеспечивать порождение всех тождественно истинных высказываний.

Рассмотрим одну из возможных систем аксиом, содержащую всего три аксиомы.

А1. А(ВА);

А2. (А(ВС))((АВ)(АС));

А3. ()((А)В).

По сути А1-А3 – схемы аксиом, поскольку они порождают бесконечное множество формул, учитывая правило подстановки.

4. Правила вывода.

1) Правило подстановки.

Если Х – выводимая формула, содержащая букву А (обозначим Х(А)), то выводима и формула Х(В), получающаяся из Х заменой всех вхождений А на произвольную формулу:

;

2) Правило заключения.

Это правило называют Modus Ponens или сокращенно m.p:

.

Строго говоря, в правилах вывода использованы также схемы формул (метаформулы).

Рассмотрим аксиомы и убедимся в их тождественной истинности (тавтологичности, еще говорят – общезначимости).

Таким образом, все аксиомы, как и следовало ожидать, тождественно истинны, хотя мы и говорили, что аксиомы недоказуемы. Будем считать, что мы использовали метадоказательства.

Проиллюстрируем вывод формулы исключенного третьего Аили АА, т.е. докажем А├А для любой формулы А.

1. Возьмем аксиому А2 и подставим формулу АА вместо В и формулу А вместо С, в соответствии с правилом подстановки:

Получим:

(А((АА)А))((А(АА))(АА)).

2. Подставим в А1(АА) вместо В:

Получим:

А((АА)А).

3. Обратим внимание, что это выражение является левой частью импликации, полученной после первого шага, то есть по правилу m.p:

,

получаем ((А(АА))(АА)), т.е. выражение под чертой.

4. Подставим теперь в А1 формулу А вместо В:

получим А(АА).

5. Обратим внимание, что это выражение также является левой частью выражения, полученного в результате третьего шага, то есть по правилу m.p:

,

получаем ├АА, что и требовалось доказать. Поскольку вывод формулы был получен из аксиом А1-А2, то (АА), т.е. формула (АА) общезначима.

Аналогично могут быть выведены другие тождества логики высказываний.

Более строго, в исчислении высказываний [19]:

1) всякая выводимая (из пустой системы гипотез) формула исчисления высказываний тождественно истинна;

2) если формула А исчисления высказываний является тождественно истинной, то она выводима.

Формальную аксиоматическую теорию называют непротиворечивой, если не существует формулы А такой, что одновременно выводимы А и .

В математической логике доказывается, что исчисление высказываний непротиворечиво.

Формальную аксиоматическую теорию называют полной, если добавление любой невыводимой формулы в качестве схемы аксиом приводит к противоречивой теории.

Исчисление высказываний полно.