- •Математическая логика и теория алгоритмов
- •11. Понятие об алгоритмах. Схемы алгоритмов
- •11.1. Понятие об алгоритме и теории алгоритмов
- •11.2. Схемы алгоритмов
- •11.3. Рекурсивные функции
- •11.4. Машина Тьюринга
- •11.5. Машина Поста
- •11.6. Нормальные алгорифмы а.А. Маркова
- •11.7. Универсальная абстрактная машина
- •11.8. Разрешимость в теории алгоритмов. Проблема самоприменимости
- •11.9. Сложность алгоритма
- •11.10. Представление схемы алгоритма эквивалентным автоматом
- •11.11. Представление схемы алгоритма микропрограммой с двумя типами микрокоманд
- •12. Элементы формальной логики
- •12.1. Предмет формальной логики
- •12.2. Понятие и его виды
- •12.3. Отношения между понятиями
- •12.4. Операции над понятиями
- •12.5. Суждение и его характеристика
- •Модальные и категорические суждения.
- •Простые категорические суждения.
- •Виды простых категорических суждений.
- •Распределение терминов в простом категорическом суждении.
- •Логический квадрат.
- •13. Умозаключение
- •13.1. Виды умозаключений
- •13.2. Непосредственное умозаключение
- •Умозаключения путем противопоставления предикату.
- •13.3. Опосредованное дедуктивное умозаключение. Фигуры силлогизма
- •Фигуры пкс.
- •Модусы пкс.
- •13.4. Дополнительные виды силлогизмов
- •13.5. Индуктивные умозаключения. Математическая индукция
- •14. Логика высказываний
- •14.1. Семантика логики высказываний
- •I закон – тождества.
- •14.3. Формализация высказываний
- •14.4. Интерпретации, разрешимость, выполнимость, общезначимость
- •14. 5. Логическая равносильность. Законы логики
- •14.6. Формы представления формул логики высказываний
- •14.7. Проблема дедукции в логике высказываний
- •15. Проверка правильности логических выводов. Метод резолюций
- •15.1. Закон контрапозиции
- •15.2. Логическое следование. Проверка правильности логических выводов
- •15.3. Силлогизмы в логике высказываний
- •Разделительно-категоричные силлогизмы.
- •16. Синтаксис и семантика языка логики предикатов
- •16.1. Понятие предиката
- •16.2. Кванторы и связанные переменные
- •16.3. Синтаксис языка логики предикатов. Формулы логики предикатов и формализация суждений
- •16.4. Семантика формул логики предикатов
- •Общезначимость, выполнимость, невыполнимость.
- •17. Тождественные преобразования формул логики предикатов
- •17.1. Операции над предикатами
- •17.2. Основные равносильности логики предикатов
- •Отрицание предложений с кванторами.
- •17.3. Тождественные преобразования формул
- •17.4. Универсум Эрбрана
- •18. Использование метода резолюций в логике предикатов
- •18.1. Подстановка и унификация
- •18.2. Резольвенция и факторизация
- •18.3. Метод резолюций в логике предикатов
- •18.4. Принцип логического программирования
- •19. Логические исчисления
- •19.1. Понятие о формальных теориях
- •19.2. Исчисление высказываний
- •19.3. Исчисление предикатов
- •19.4. Система натурного вывода
- •19.5. Понятие о математической лингвистике
- •19.6. Формальный язык
- •19.7. Формальные грамматики и их свойства
- •19.8. Теоремы Гёделя
- •20. Неклассические логики
- •20.1. Современные модальные логики
- •20.2. Понятие о теории неопределенности
- •20.3. Элементы теории нечетких множеств и нечеткая логика
- •20.4. Нечеткие алгоритмы
- •Литература
- •Приложение 1 Варианты контрольных заданий по дисциплине «Дискретная математика»
- •Приложение 2 Варианты контрольных заданий по дисциплине «Математическая логика»
16.4. Семантика формул логики предикатов
Формула имеет семантику, т.е. определенный смысл, и обозначает определенное высказывание, если существует ее некоторая интерпретация.
Интерпретировать формулу – значит связать с ней определенное непустое множество, т.е. конкретизировать предметную область (область интерпретации), а также указать соответствие [25]:
каждой предметной константе в формуле – конкретный элемент из множества М;
каждой n-местной функциональной букве в формуле – конкретную n-местную функцию на множестве М;
каждой n-местной предикатной букве – конкретное отношение между n элементами на М.
Пример [25].
G2(f(a,b)), g2(a,b)
Пусть М – множество натуральных чисел a=2, b=3, f – сложение (a+b), g – умножение (ab), G – отношение «не меньше» ().
Тогда: 2+323 – ложное высказывание
Если a=1, b=2 – высказывание истинное.
Не существует ни одной интерпретации G, при которой эта формула и истинна и ложна одновременно.
Для формулы G2(f(g(x,x),g(y,y),g(a,g(x,y))) при a=2: «x2+y22xy» – истинное высказывание.
Общезначимость, выполнимость, невыполнимость.
Формула без свободных переменных называется замкнутой.
Для данной интерпретации всякая замкнутая формула представляет собой высказывание, которое истинно или ложно. А всякая формула со свободными переменными выражает некоторое отношение на области интерпретации, которое может быть истинно для одних значений переменных и ложно для других значений.
Если формула истинна при всех интерпретациях, то она общезначима,
например: .
Если формула ложна при любых интерпретациях, то она невыполнима, например: .
Формула выполнима, если существует интерпретация, в которой она выполнима.
Логика предикатов второго порядка – логика, использующая кванторы по предикатным буквам и (или) по функциям.
Предикаты в информатике могут задаваться и в «неакадемической» форме – с использованием слов естественного языка, например: находиться <Иван, работа> – двухместный предикат «Находиться <Х,У>» – Х находится в У.
17. Тождественные преобразования формул логики предикатов
17.1. Операции над предикатами
Над предикатами можно производить обычные логические операции [24]. В результате получают новые предикаты.
Инверсией предиката называется предикат, у которого значения истинности проинверсированы.
Конъюнкцией предикатов называется предикат, у которого множество истинностей является пересечением множеств истинности исходных предикатов.
Пусть Р(х) означает предикат «х делится на 2», Q(x) означает предикат «х делится на 3», P(x)∙Q(x) означает предикат «х делится на 2 и х делится на 3», т.е. определяет предикат делимости на 6.
Дизъюнкцией предикатов называется предикат, у которого множество истинности является объединением множеств истинности исходных предикатов.
Аналогично могут быть определены эквиваленция и импликация.
Очевидно, что переменные должны принимать значения из одного общего множества.
Пусть предикаты P1(x,y) и P2(x,y) (X={c,d,e},Y={a,b,c,d}) определяются соответствующими таблицами (табл. 85-86) [24]:
Таблица 85
Для P1(x,y)
-
Y
X
a
b
c
d
c
1
0
0
1
d
0
1
1
0
e
1
0
0
0
Таблица 86
Для P2(x,y)
Y X |
a |
b |
c |
d |
c |
1 |
0 |
1 |
0 |
d |
1 |
1 |
0 |
0 |
e |
0 |
0 |
1 |
1 |
Тогда импликацией P1(x,y)→P2(x,y) будет предикат Ри(х,у) (табл. 87), ложный в соответствующих клетках (табл. 85-86), где первый предикат P1(x,y) истинный, а P2(x,y) – ложный. Эквиваленцией P1(x,y)↔P2(x,y) будет предикат Pэ(x,y) (табл. 88), истинный в соответствующих клетках (табл. 85-86), где оба предиката принимают одинаковые значения.
Таблица 87
Для Pи(x,y)
Y X |
a |
b |
c |
d |
c |
1 |
1 |
1 |
0 |
d |
1 |
1 |
0 |
1 |
e |
0 |
1 |
1 |
1 |
Таблица 88
Для Pэ(x,y)
-
Y
X
a
b
с
d
c
1
1
0
0
d
0
1
0
1
e
0
1
0
0
Также, как в логике высказываний определяется равносильность предикатов – она выполняется, когда на всяком наборе значений входящих в них переменных предикаты принимают одинаковые значения: P1(x,y)P2(x,y).
Таким же образом можно определить следование P1(x,y)→P2(x,y) предиката P2 из предиката P1. Это выполняется тогда, когда P1(x,y)→P2(x,y) истинно на всех наборах переменных, т.е. множество истинности P1 является подмножеством множества истинности предиката P2 (множество предиката P1 включается во множество истинности предиката P2).
Очевидно, что свойства – одноместные отношения – являются одноместными предикатами, а многоместные отношения – это многоместные предикаты.