- •Математическая логика и теория алгоритмов
- •11. Понятие об алгоритмах. Схемы алгоритмов
- •11.1. Понятие об алгоритме и теории алгоритмов
- •11.2. Схемы алгоритмов
- •11.3. Рекурсивные функции
- •11.4. Машина Тьюринга
- •11.5. Машина Поста
- •11.6. Нормальные алгорифмы а.А. Маркова
- •11.7. Универсальная абстрактная машина
- •11.8. Разрешимость в теории алгоритмов. Проблема самоприменимости
- •11.9. Сложность алгоритма
- •11.10. Представление схемы алгоритма эквивалентным автоматом
- •11.11. Представление схемы алгоритма микропрограммой с двумя типами микрокоманд
- •12. Элементы формальной логики
- •12.1. Предмет формальной логики
- •12.2. Понятие и его виды
- •12.3. Отношения между понятиями
- •12.4. Операции над понятиями
- •12.5. Суждение и его характеристика
- •Модальные и категорические суждения.
- •Простые категорические суждения.
- •Виды простых категорических суждений.
- •Распределение терминов в простом категорическом суждении.
- •Логический квадрат.
- •13. Умозаключение
- •13.1. Виды умозаключений
- •13.2. Непосредственное умозаключение
- •Умозаключения путем противопоставления предикату.
- •13.3. Опосредованное дедуктивное умозаключение. Фигуры силлогизма
- •Фигуры пкс.
- •Модусы пкс.
- •13.4. Дополнительные виды силлогизмов
- •13.5. Индуктивные умозаключения. Математическая индукция
- •14. Логика высказываний
- •14.1. Семантика логики высказываний
- •I закон – тождества.
- •14.3. Формализация высказываний
- •14.4. Интерпретации, разрешимость, выполнимость, общезначимость
- •14. 5. Логическая равносильность. Законы логики
- •14.6. Формы представления формул логики высказываний
- •14.7. Проблема дедукции в логике высказываний
- •15. Проверка правильности логических выводов. Метод резолюций
- •15.1. Закон контрапозиции
- •15.2. Логическое следование. Проверка правильности логических выводов
- •15.3. Силлогизмы в логике высказываний
- •Разделительно-категоричные силлогизмы.
- •16. Синтаксис и семантика языка логики предикатов
- •16.1. Понятие предиката
- •16.2. Кванторы и связанные переменные
- •16.3. Синтаксис языка логики предикатов. Формулы логики предикатов и формализация суждений
- •16.4. Семантика формул логики предикатов
- •Общезначимость, выполнимость, невыполнимость.
- •17. Тождественные преобразования формул логики предикатов
- •17.1. Операции над предикатами
- •17.2. Основные равносильности логики предикатов
- •Отрицание предложений с кванторами.
- •17.3. Тождественные преобразования формул
- •17.4. Универсум Эрбрана
- •18. Использование метода резолюций в логике предикатов
- •18.1. Подстановка и унификация
- •18.2. Резольвенция и факторизация
- •18.3. Метод резолюций в логике предикатов
- •18.4. Принцип логического программирования
- •19. Логические исчисления
- •19.1. Понятие о формальных теориях
- •19.2. Исчисление высказываний
- •19.3. Исчисление предикатов
- •19.4. Система натурного вывода
- •19.5. Понятие о математической лингвистике
- •19.6. Формальный язык
- •19.7. Формальные грамматики и их свойства
- •19.8. Теоремы Гёделя
- •20. Неклассические логики
- •20.1. Современные модальные логики
- •20.2. Понятие о теории неопределенности
- •20.3. Элементы теории нечетких множеств и нечеткая логика
- •20.4. Нечеткие алгоритмы
- •Литература
- •Приложение 1 Варианты контрольных заданий по дисциплине «Дискретная математика»
- •Приложение 2 Варианты контрольных заданий по дисциплине «Математическая логика»
Распределение терминов в простом категорическом суждении.
Термин считается распределённым (обозначается «+»), если в данном суждении он мыслится в полном объёме, и нераспределённым (обозначается «–»), если он мыслится частью объёма (рис. 112).
S – распределён
Рис. 112. Распределение терминов в суждениях
Семантика простых категорических суждений.
Семантика или смысл простых категорических суждений рассматривается на основе анализа понятий суждения с учетом всевозможных отношений между ними на некотором универсуме рассуждения. Рассмотрим суждения с их иллюстрацией (рис. 113) на кругах Эйлера [16].
1) SaP.
Например, всякий компьютер является ЭВМ
2) SeP.
3) SiP.
4) SoP.
Рис. 113. Суждения и соответствующие типичные случаи
отношений между понятиями
Термин распределен, если он полностью заштрихован или полностью не заштрихован, и нераспределен в противном случае (рис. 113).
Отношения между суждениями можно представить табл. 80.
Таблица 80
Отношения между суждениями
В табл. 80 обозначено: 1 – «истинно», 0 – «ложно». Здесь выделено только пять наиболее существенных соотношений S и P.
Анализ отношений между суждениями может быть проведён путём сравнения соответствующих столбцов табл. 80.
Располагая информацией об истинности или ложности одного суждения можно установить, каким будет другое суждение.
Логический квадрат.
Отношения между суждениями может быть представлено графом – логическим квадратом (рис. 114):
Рис. 114. Логический квадрат
На логическом квадрате указаны метки дуг, показывающие связь между понятиями. Видно, что есть однозначные связи: например, от истинности суждения Е к ложности суждения А. Неоднозначна связь, например, от ложности суждения А к истинности суждения Е.
13. Умозаключение
13.1. Виды умозаключений
Умозаключение – форма мысли, в которой устанавливается такая связь между суждениями, с помощью которой обеспечивается получение новых истинных суждений на основе уже имеющихся [8, 16].
Новое истинное суждение, полученное в результате умозаключения, называется выводом, при этом исходные суждения называются посылками.
Между посылками и выводом должно существовать отношение следования. Вывод следует из посылок, если истинность посылок приводит к истинности умозаключения, т.е. важно следование и важна истинность посылок.
Задача логики – сформулировать правила, обеспечивающие истинность вывода при условии истинности посылок.
Выделяют дедуктивные и индуктивные умозаключения.
Дедуктивное умозаключение («дедукция» – от лат. «выведение») – обеспечивает переход от более общих суждений к менее общим, то есть частный случай подводится под действие общего закона, правила, теоремы.
Если при построении умозаключения производится переход от истинности единичного или частного суждения к общему, то такое суждение называется индуктивным (от лат. «наведение»).
Различают полную индукцию (обобщение на основе конечной обозримой области фактов) и неполную (относится к бесконечной области фактов).
Дедуктивные умозаключения могут быть непосредственными и опосредованными.
Если истинность вывода обосновывается с помощью одной посылки, то умозаключение непосредственное. Если с помощью двух и более – опосредованное.