17.2. Основные равносильности логики предикатов

Литералом (литерой) называют любую элементарную формулу, или её отрицание.

Формула, представляющая собой дизъюнкцию литералов, называется предложением или дизъюнктом.

При получении используются равносильные преобразования – переход от одних формул к равносильным или другим формулам.

Все равносильности, имеющие место в логике высказываний, имеют место и для формул логики предикатов, если последние не содержат кванторов.

Рассмотрим основные равносильности логики предикатов, имеющих кванторы.

Отрицание предложений с кванторами.

–не верно, что все х обладают свойствами F, значит, некоторые х не обладают свойствами F:

.

–не верно, что существуют х обладающие свойствами F, значит, все х не обладают свойствами F:

.

В случае наличия нескольких кванторов необходимо последовательно заменять все кванторы и инвертировать предикаты, например:

;.

Очевидно, что квантор общности может быть заменен конъюнкцией по предметной области, возможно бесконечной, а квантор существования – дизъюнкцией.

Пусть задан двухместный предикат «Решать задачи» на множествах:

М_х={1,2} – множество студентов, М_у={1,2} – множество задач. Тогда возможны следующие варианты для одного квантора:

1) xР(х,у)=P(1,y)P(2,y) – «Хотя бы 1 студент решает задачи»;

2) yР(х,у)=Р(х,1)Р(х,2) – «Хотя бы одна задача решается студентами»;

3) xР(х,у)=Р(1,у)Р(2,у) – «Каждый студент решает задачи»;

4) yР(х,у)=Р(х,1)Р(х,2) – «Каждая задача решается студентами».

Очевидно, что эти формулы не замкнутые, т.е. в зависимости от значений переменных они могут принимать различные значения истинности.

Для возможных комбинаций двух кванторов получаем соответствующие замкнутые формулы.

Для одноименных кванторов:

5) xyР(х,у)=Р(1,1)Р(2,1)Р(1,2)Р(2,2)=yxР(х,у) – «Существуют студенты, решающие хотя бы одну задачу», или, что то же самое, «Существуют задачи, решаемые хотя бы одним студентом»;

6) xyР(х,у)=Р(1,1)Р(2,1)Р(1,2)Р(2,2)=yxР(х,у) «Каждый студент решает каждую задачу» или, что то же самое, «Каждая задача решается каждым студентом».

Для разноименных кванторов:

7) xyР(х,у)=Р(1,1)Р(1,2)Р(2,1)Р(2,2) –

(x=1) (x=2)

«Существуют студенты, решающие каждую задачу»;

Ясно, что при перестановке кванторов получается совсем другой смысл:

8) yxР(х,у)=[Р(1,1)Р(2,1)][Р(1,2)Р(2,2)] –

(y=1) (y=2)

«Каждый студент решает хотя бы одну задачу»;

9) xyР(х,у)=[Р(1,1)Р(1,2)][Р(2,1)Р(2,2)] –

(x=1) (x=2)

«Каждая задача решается хотя бы одним студентом».

Наоборот:

10) yxР(х,у) = Р(1,1)Р(2,1)Р(1,2)Р(2,2) –

(y=1) (y=2)

«Существуют задачи, решаемые каждым студентом».

Таким образом, нетрудно показать что из xyР(х,у) следует yxР(х,у), т.е. из суждения «по меньшей мере один студент решил все задачи» следует суждение «каждую задачу решил по меньшей мере один студент» [25].

Действительно:

Аналогично доказывается то, что из yxР(х,у) следует xyР(х,у) т.е. из суждения «по меньшей мере одна задача решена каждым студентом» следует суждение «каждая задача решена по меньшей мере одним студентом».

Таким образом, одноименные кванторы можно менять местами:

xyР(х,у)=yxР(х,у);

xyР(х,у)=yxР(х,у).

Разноименные кванторы нельзя менять местами, но:

xyР(х,у)yxР(х,у);

yxР(х,у)xyР(х,у).

Рассмотрим другие равносильности:

Квантор общности может быть перенесен через конъюнкцию:

.

Квантор существования может быть перенесен через дизъюнкцию:

.

Кроме того, очевидны равносильности [29]:

, где F – не содержит x;

, где F – не содержит x;

, где F – не содержит x;

, где F – не содержит x.