Математика Шумаев В В

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Пензенская ГСХА»

В.В. Шумаев, Т.Г. Федина

МАТЕМАТИКА

ЧАСТЬ 1

Пенза 2012

0

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Пензенская ГСХА» Кафедра «Физика и математика»

В.В. Шумаев, Т.Г. Федина

МАТЕМАТИКА

ЧАСТЬ 1

методические указания и задания к самостоятельной работе для студентов, обучающихся по направлению

120700 – Землеустройство и кадастры, профиль «Землеустройство»

Пенза 2012 1

УДК 51(075) ББК 22.11(я7)

Ш 96

Рецензент – старший преподаватель кафедры физики и математики А.И. Бобылев.

Печатается по решению методической комиссии агрономического факультета от 29 октября 2012 г., протокол № 5.

Шумаев, В.В.

Ш96 Математика: методические указания и задания к самостоятельной работе. Часть 1 / В.В. Шумаев, Т.Г.Федина. – Пенза: РИО ПГСХА, 2012. – 87 с.

Методические указания к самостоятельной работе предназначены для студентов первого курса агрономического факультета обучающихся по направлению подготовки 120700 - Землеустройство и кадастры, профиль «Землеустройство». Пособие состоит из девяти разделов по несколько тем, содержит задание к расчётнографическим работам №1 и № 2. По каждой теме подобраны стандартные задачи с учетом профиля сельскохозяйственного вуза.

Методические указания и задания к самостоятельной работе для студентов, обучающихся по направлению 120700 – Землеустройство и кадастры, профиль «Землеустройство» необходимы для оказания помощи студентам очной формы обучения при подготовке к контрольным работам, тестам, зачетам и экзаменам в качестве дополнительного пособия. Содержат краткие теоретические сведения с примерами, задачи с подробными решениями, по соответствующим разделам даны задания к расчётным работам в двадцати пяти вариантах.

© ФГБОУ ВПО «Пензенская ГСХА», 2012

© В.В. Шумаев, Т.Г. Федина, 2012

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математика является одним из важнейших элементов в образовании современного инженера. В высших учебных заведениях студентам постоянно приходится пользоваться высшей математикой, так как такие предметы, как физика, землеустройство, механика, информатика и другие, широко применяют методы математики.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций: общекультурные ОК-10 (студент использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования; профессиональные ПК-10 (студент способен использовать знание современных автоматизированных технологий сбора, систематизации, обработки и учета информации о земельных участках и объектах недвижимости).

Студент должен:

-знать основные понятия и методы математического анализа, теории вероятностей и математической статистики. Обладать базовыми знаниями в области фундаментальных разделов математики в объеме, необходимом для владения математическим аппаратом землеустроительных наук, для обработки информации и анализа данных

вобластях землеустройства и кадастра недвижимости.

-уметь использовать в профессиональной деятельности базовые знания в области математики - моделировать процессы в области землеустройста и кадастра недвижимости, рассчитывать параметры моделей; анализировать массивы нормативных, статистических и других данных, проводить их статистическую обработку.

-владеть принципами математических рассуждений и математических доказательств, методами математического моделирования и анализа.

Настоящие методические указания и задания к самостоятельной работе для студентов, обучающихся по направлению 120700 – Землеустройство и кадастры, профиль «Землеустройство» написаны в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению 120700 – Землеустройство и кадастры.

3

1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Система имеет вид:

Числа и т.д называются элементами определителя. Решить систему уравнений, значит найти совокупность чисел х,

у, z которые после подстановки в систему обращают её в тождество.

Для вычисления определителей третьего порядка используется правило треугольников:

Определитель третьего порядка будет находится из равенства:

a11 a12 a13= a21 a22 a23 a31 a32 a33

Дополнительные определители третьего порядка будут получаться путем замены j- го столбца в определителе столбцом свободных членов:

,

Для нахождения неизвестных х, у и z можно воспользоваться формулами Крамера (швейцарский математик (1704-1752))

При решении системы трёх уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера возможны три случая:

а) определитель системы не равен , система имеет единственное решение;

4

уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Минором какого либо элемента называется определитель, получаемый из данного определителя вычёркиванием той строки и того столбца, на пересечение которых стоит элемент.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)р, где р - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент.

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения.

Пример 1.1. Решить систему уравнений по формулам Крамера.

3x 4 y 2z 55x 6 y 4z 34x 5 y 3z 1

Решение. Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных и вычислим по правилу треугольников:

–3·(–4)·5= –54+64+50–48–60+60=12

Поскольку ≠0, система имеет единственное решение. Для нахождения неизвестных воспользуемся формулами Крамера.

x = х/; у = у/ ; z= z/ .

Составим дополнительные определители системы;

( 3) 4 3 5 ( 4) 5 90 16 30 12 36 100 12

5

5 ( 3) 3 5 4 1 18 48 125 120 45 20 60

Подставим полученные значения в формулы Крамера:

Ответ: х=1, у=–2, z=5

1.2 Решение систем линейных уравнений матричным методом

Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы и обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

Основные действия над матрицами.

Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Матрица вида:

6

нальной матрицей.

Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц:

cij = aij bij.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A B = C;

n

сij aik bkj . k 1

Операция умножения матриц определена только для матриц,

число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Матрицу В называют транспонированной к матрице А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа,

так и слева получается единичная матрица, т.е.

А-1·А = А·А-1 = Е

7

Для нахождения решения системы уравнений необходимо вы-

числить обратную матрицу А 1.

Пусть имеем невырожденную матрицу

где Аij (i 1,2,3; j 1,2,3) – алгебраическое дополнение элемента aij . Вычислим определитель и алгебраические дополнения Аij