Математика

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Пензенская ГСХА»

А.И. Бобылев, В.В. Шумаев

МАТЕМАТИКА

Пенза 2013

0

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Пензенская ГСХА»

Кафедра «Физика и математика»

А.И. Бобылев, В.В. Шумаев

МАТЕМАТИКА

Методические указания и задания к самостоятельной работе для студентов заочного отделения, обучающихся по направлению

120700 – Землеустройство и кадастры

Пенза 2013

1

УДК 51(075) ББК 22.11(я7)

Б 72

Рецензент – д-р техн. наук, профессор кафедры «Основы конструирования механизмов и машин» В.А. Мачнев.

Печатается по решению методической комиссии агрономического факультета от 18 марта 2013 г., протокол № 13.

Бобылев, А.И.

Б 72 Математика: методические указания и задания к самостоятельной работе / А.И. Бобылев, В.В. Шумаев. – Пенза: РИО ПГСХА,

2013. – 88 с.

Методические указания к самостоятельной работе предназначены для студентов заочного отделения первого и второго курсов агрономического факультета, обучающихся по направлению подготовки 120700 - Землеустройство и кадастры. Методические указания состоят из пятнадцати разделов, содержат задания к контрольным работам. По каждой теме подобраны стандартные задачи с учетом профиля сельскохозяйственного вуза.

Методические указания и задания к самостоятельной работе для студентов, обучающихся по направлению 120700 – Землеустройство и кадастры, необходимы для оказания помощи студентам заочной формы обучения при выполнении контрольных работ в качестве дополнительного пособия. Методические указания содержат примеры задач с подробными решениями, по соответствующим разделам.

© ФГБОУ ВПО «Пензенская ГСХА», 2013

© А.И. Бобылев, В.В. Шумаев, 2013

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математика является одним из важнейших элементов в образовании современного инженера. В высших учебных заведениях студентам постоянно приходится пользоваться высшей математикой, так как такие предметы как физика, землеустройство, механика, информатика и другие широко применяют методы математики.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций: общекультурные ОК-10 (использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования); профессиональные ПК-10 (способен использовать знание современных автоматизированных технологий сбора, систематизации, обработки и учета информации о земельных участках и объектах недвижимости).

Студент должен:

-знать основные понятия и методы математического анализа, теории вероятностей и математической статистики. Обладать базовыми знаниями в области фундаментальных разделов математики в объеме, необходимом для владения математическим аппаратом землеустроительных наук, для обработки информации и анализа данных

вобластях землеустройства и кадастра недвижимости;

-уметь использовать в профессиональной деятельности базовые знания в области математики: моделировать процессы в области землеустройста и кадастра недвижимости, рассчитывать параметры моделей; анализировать массивы нормативных, статистических и других данных, проводить их статистическую обработку;

-владеть принципами математических рассуждений и математических доказательств, методами математического моделирования и анализа.

Настоящие методические указания написаны в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и рекомендациями ПрООП ВПО по направлению 120700 «Землеустройство и кадастры».

3

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Методические указания предназначены для студентов заочного отделения первого и второго курсов агрономического факультета обучающихся по направлению подготовки 120700 - Землеустройство и кадастры.

Они содержат решение типовых задач, вопросы для самопроверки, задачи для контрольных работ.

Основной формой обучения студента заочного отделения является самостоятельная работа над учебным материалом, чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных работ.

При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1.Каждая работа должна выполняться в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, его шифр и домашний адрес, номер работы.

2.Задачи контрольной работы должны располагаться в порядке возрастания их номеров. Перед решением задачи следует записать её условие. На каждой странице тетради следует оставлять поля шириной 2 – 4 см для замечаний преподавателя.

3.Решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых теорем

иформул. К задачам геометрического содержания следует делать чертежи. Объяснения к решению задач должны соответствовать обозначениям: приведенным на чертеже.

4.Получив прорецензированную преподавателем контрольную работу, студент должен исправить отмеченные преподавателем ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, то в кратчайший срок студенту следует выполнить все указания рецензента и представить работу на повторное рецензирование.

5.По зачтенной работе студент должен пройти собеседование на кафедре «Физика и математика».

6.Студент выполняет вариант контрольной работы, совпадающий с последней цифрой его учебного шифра. При этом, если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач контрольной работы даны в таблицах 1, 3. Если же предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное (0, 2, 4, 6, 8), то номера задач даны в таблицах 2, 4.

4

Таблица 1 – Номера задач для контрольной работы №1

5

Таблица 3 – Номера задач для контрольных работ №2 и №3

Таблица 4 – Номера задач для контрольных работ №2 и №3

6

1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Пример 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

3x 4 y 2z 5,

5x 6 y 4z 3,4x 5 y 3z 1.

Решение. Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных и вычислим его по правилу треугольников (рисунок 1).

–5·(–4)·3=–54+64+50–48–60+60=12.

Поскольку ≠0, система имеет единственное решение. Для нахождения неизвестных воспользуемся формулами Крамера:

x = х/ ; у = у/ ; z= z/ .

Составим вспомогательные определители системы ∆x, ∆y, ∆z, заменяя в главном определителе, соответственно, первый, второй, тре-

1 ( 4) 3 5 3 5 27 80 10 24 12 75 24

7

5 ( 3) 3 5 4 1 18 48 125 120 45 20 60

Подставим полученные значения в формулы Крамера:

Ответ: х=1, у=–2, z=5.

Пример 2. Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

x y 3z 2,3x 2 y z 1,

2x y 2z 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x y 3z 2,5 y 10z 7,

10z 13.

8

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.

Ответ: х=-0,7, у=-1,2, z=-1,3.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение определителя.

2.Как вычисляют определители третьего порядка?

3.Как вычисляют определители второго порядка?

4.Когда система имеет одно решение, бесчисленное множество решений и не имеет решений?

5.Как записываются формулы Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными?

6.Что называется матрицей?

7.Дайте определение алгебраического дополнения элемента определителя.

8.Сформулируйте определение минора элемента определителя.

9.Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице?

10.В чём заключается метод Гаусса.

9