- •§9. Основные законы распределения.
- •1. Биномиальный закон распределения.
- •2. Закон распределения Пуассона.
- •3. Геометрическое распределение.
- •4. Гипергеометрическое распределение.
- •5. Равномерный закон распределения.
- •6. Показательный (экспоненциальный) закон распределения.
- •7. Нормальный закон распределения.
- •8. Логарифмически – нормальное распределение.
- •9. Распределение Хи – квадрат.
- •10. Распределение Стьюдента.
- •§10. Закон больших чисел и предельные теоремы.
- •1. Неравенство Маркова (лемма Чебышева).
- •2. Теорема Чебышева.
- •§11. Система двух случайных величин.
- •1. Понятие о системе нескольких случайных величин.
- •2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.
- •3. Функция распределения двумерной случайной величины.
- •4. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности).
- •5. Условные характеристики системы непрерывных случайных величин.
4. Гипергеометрическое распределение.
Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределениес параметрамиn,M,N, если она принимает значения 0, 1, 2,m, …,min(n,M) с вероятностями
(53)гдеn,N,M– натуральные числа.
Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина X=m– число объектов, обладающих заданным свойством, средиnобъектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупностиNобъектов, М из которых обладают этим свойством.
Теорема.Математическое ожидание случайной величины Х. имеющей гипергеометрическое распределение с параметрамиn,M,N, есть, а ее дисперсия(54)
Случайную величину X=m, распределенную по биномиальному закону (47), можно интерпретировать как числоmобъектов, обладающих данным свойством, из общего числаnобъектов, случайно извлеченных из некоторой воображаемойбесконечнойсовокупности, доля р объектов которой обладает этим свойством. Поэтому гипергеометрическое распределение можно рассматривать как модификацию биномиального распределения для случаяконечнойсовокупности, состоящей изNобъектов, М из которых обладают этим свойством. Можно показать, что прифункция вероятностей (53) гипергеометрического распределения стремится к соответствующей функции (47) биномиального закона.
Гипергеометрическое распределение широко используется в практике статистического приемочного контроля качества промышленной продукции, в задачах, связанных с организацией выборочных исследований, и в других областях.
5. Равномерный закон распределения.
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a,b], если ее плотность вероятностипостоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е(55)
Кривая распределения и график функции распределенияF(х) случайной величины Х приведены на рисунке.
Теорема.Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, естьее математическое ожидание, а ее дисперсия(56)
Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке
[– 0,5; + 0,5 ]), в ряде задач массового обслуживания, при статическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению. Так, случайная величины Х, распределенная по равномерному закону на отрезке [0; 1], называемая «случайным числом от 0 до 1», служит исходным материалом для получения случайных величин с любым законом распределения.
6. Показательный (экспоненциальный) закон распределения.
Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределенияс параметром, если ее плотность вероятности имеет вид:(57)
Кривая распределения и график функции распределенияF(x) случайной величины Х приведены на рисунке.
Теорема.Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону распределения, естьее математическое ожидание, (т.е. ее среднему квадратическому отклонению), а дисперсия(58)
Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности. Так, например, интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром - интенсивностью потока.
Показательный закон (и только он!) обладает важным свойством: Если промежуток времени Т, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время t, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части Т1= Т –tпромежутка, т.е. закон распределения Т1остается таким же, как и всего промежутка Т.