§9. Основные законы распределения.

В данном параграфе рассмотрим основные законы распределения случайных величин, используемых для построения теоретико-вероятностных моделей реальных социально-экономических явлений.

1. Биномиальный закон распределения.

Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределенияс параметрамиnиp, если она принимает значения 0, 1, 2, …,m, …,nс вероятностями(47)

где 0 < p< 1,q= 1 –p. Биномиальный закон представляет собой закон распределения числа Х =mнаступлений события А вnнезависимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р. Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

xi	0	1	2	…	m	…	n
pi	qn			…		…	pn

Теорема.Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону,M(X) = np, а ее дисперсияD(X) = npq(48)

Следствие.Математическое ожидание частостисобытия вnнезависимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностьюp, равно р, т.е., а ее дисперсия(49)

Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, при моделировании цен активов, в теории стрельбы и в других областях.

2. Закон распределения Пуассона.

Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассонас параметром, если она принимает значения 0, 1, 2, …,m, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями(50)

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

xi	0	1	2	…	m	…
pi				…		…

Теорема.Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру, т.е.M(X) = ,а ее дисперсияD(X) = (51)

При ,закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как вероятность р мала, то закон распределения Пуассона называют еще законом редких явлений.

по закону Пуассона распределены, например, число рождения четверней, число сбоев на автоматной линии, число отказов сложной системы в «нормальном режиме», число «требований на обслуживание», поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания, и др.

3. Геометрическое распределение.

Дискретная случайная величина Х = mимеетгеометрическое распределениес параметром р, если она принимает значения 1, 2, …,m, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностямиР(Х = m) = рq^m-1(52), где 0 <p< 1,q= 1 –p.

Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид:

xi	1	2	3	…	m	…
pi	р	pq	pq2	…	pqm – 1	…

Можно видеть, что вероятности p_iобразуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателемq(отсюда название «геометрическое распределение»).

Случайная величина X=m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой числоmиспытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью р наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение с параметром р, равно:, а ее дисперсия(52)гдеq= 1 – р.