![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Учебная программа дисциплины
- •2. Данные о дисциплине:
- •1.7 Список литературы
- •1.8 Оценка знаний согласно шкале рейтинга
- •1.9 Политика и процедура
- •Учебно-методические материалы по дисциплине
- •2.1 Тематический план курса
- •2.2 Тезисы лекционных занятий
- •2.3 Планы практических занятий
- •Оценка участия в семинарах
- •Содержание домашних заданий
- •Оценка домашних заданий
- •Содержание заданий для срсп
- •Оценка заданий для срсп
- •Матрицы и операции над ними.
- •Определители и их свойства.
- •Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Векторы. Линейные операции над векторами.
- •Нелиейные операции над векторами. Метод координат
- •Прямая на плоскости.
- •Кривые 2-го порядка.
- •Уравнение плоскости.
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •Функция. Действительные числа. Предел функции. Односторонние пределы функции.
- •Элементарные функции
- •Предел функции. Основные теоремы о пределах
- •Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Широко используются следующие два предела
- •Непрерывность функции. Классификация точек разрыва функции.
- •Производная. Правила и формулы дифференцирования.
- •Производные высших порядков. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения.
- •Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя. Приложения производной и исследование функции.
- •Исследование поведения функции и построение их графиков.
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимтоты.
- •Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Интегрирование рациональных функций.
- •Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
- •Определенный интеграл. Условия существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
- •Проведя в точках деления a,b прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций. В каждом частичном интервале возьмем точки 1,2,…,т, так что
- •Оценка интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Приложения определенного интеграла.
- •Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных.
- •Частные производные высших порядков
- •Лекции 29. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения I порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Числовые ряды.
- •Признаки сходимости рядов
- •Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды.
- •Свойства степенных рядов.
- •Двойные и тройные интегралы.
- •Векторные и скалярные поля
- •Криволинейные интегралы
- •Случайные события. Определение вероятности.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Формула Бернулли. Предельные теоремы.
- •Случайные величины и их числовые характеристики.
- •Задачи математической статистики. Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •Параметры распределения.
- •Точечные и интервальные оценки.
- •Элементы теории корреляции.
- •Статистическая проверка статистических гипотез.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение вида:
,
где
-
заданные непрерывные функции отх,
называется линейным
неоднородным
дифференциальным уравнением второго
порядка, а соответствующее ему уравнение:
- линейным однородным.
Если
и
- какие-нибудь два линейно независимых
частных решения однородного
дифференциального уравнения второго
порядка, то его общим решением служит
функция:
.
Функции
и
называютсялинейно
независимыми,
если при постоянных
и
тождество
выполняется тогда и только тогда, когда
Если же хотя бы одна из них отлична от
нуля, а тождество
возможно, то эти решения
и
называютсялинейно
зависимыми.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения:
,
где
- частное решение неоднородного, а
- общее решение однородного уравнения.
Пусть требуется решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
,
в
котором
и
- постоянные величины.
Найдём
частные решения дифференциального
уравнения в виде
.
Тогда
,
.
Подставив выражения
,
и
в исходное уравнение, получим:
.
Так
как
,
то получим уравнение
,
которое называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Таким
образом,
является частным решением линейного
однородного дифференциального уравнения
второго порядка, если
- корень характеристического уравнения.
В зависимости от дискриминанта корни характеристического уравнения могут быть:
1)
действительными и различными
,
тогда частные решения
и
,
а общее решение:
,
2)
действительными и равными
,
тогда частные решения
и
,
а общее решение:
,
комплексными
,
, тогда частные решения
и
, а общее решение:
.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка:
,
в
котором
и
- постоянные величины, находится как:
,
где
- частное решение неоднородного, а
- общее решение однородного уравнения.
,
Общее
решение однородного уравнения, как
известно, находится с помощью
характеристического уравнения, а частное
решение неоднородного уравнения
находится в зависимости от вида функции
.
Если
есть многочлен
-ой степени:
,
в
частности, многочлен второй степени
(
),
то частное решение неоднородного
уравнения ищется
в виде:
а)
при
и
;
б)
при
и
;
в)
при
и
неоднородное
дифференциальное
уравнение принимает вид:
,
решение которого находится непосредственным
двукратным интегрированием, т.е.
,
затем,
.
Если
- показательная функция, т.е.
(
), точастное решение неоднородного уравнения ищется в виде:
а)
,
если коэффициент
не является корнем характеристического
уравнения, т.е.
;
б)
,
если коэффициент
является однократным корнем
характеристического уравнения, т.е.
;
в)
,
если коэффициент
является двукратным корнем
характеристического уравнения, т.е.
.
3.
Если
- тригонометрическая функция, т.е.
,
то частное решениенеоднородного
уравнения ищется
в виде:
а)
,
если
;
б)
если
,
а
.