![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Учебная программа дисциплины
- •2. Данные о дисциплине:
- •1.7 Список литературы
- •1.8 Оценка знаний согласно шкале рейтинга
- •1.9 Политика и процедура
- •Учебно-методические материалы по дисциплине
- •2.1 Тематический план курса
- •2.2 Тезисы лекционных занятий
- •2.3 Планы практических занятий
- •Оценка участия в семинарах
- •Содержание домашних заданий
- •Оценка домашних заданий
- •Содержание заданий для срсп
- •Оценка заданий для срсп
- •Матрицы и операции над ними.
- •Определители и их свойства.
- •Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Векторы. Линейные операции над векторами.
- •Нелиейные операции над векторами. Метод координат
- •Прямая на плоскости.
- •Кривые 2-го порядка.
- •Уравнение плоскости.
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •Функция. Действительные числа. Предел функции. Односторонние пределы функции.
- •Элементарные функции
- •Предел функции. Основные теоремы о пределах
- •Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Широко используются следующие два предела
- •Непрерывность функции. Классификация точек разрыва функции.
- •Производная. Правила и формулы дифференцирования.
- •Производные высших порядков. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения.
- •Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя. Приложения производной и исследование функции.
- •Исследование поведения функции и построение их графиков.
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимтоты.
- •Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Интегрирование рациональных функций.
- •Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
- •Определенный интеграл. Условия существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
- •Проведя в точках деления a,b прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций. В каждом частичном интервале возьмем точки 1,2,…,т, так что
- •Оценка интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Приложения определенного интеграла.
- •Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных.
- •Частные производные высших порядков
- •Лекции 29. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения I порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Числовые ряды.
- •Признаки сходимости рядов
- •Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды.
- •Свойства степенных рядов.
- •Двойные и тройные интегралы.
- •Векторные и скалярные поля
- •Криволинейные интегралы
- •Случайные события. Определение вероятности.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Формула Бернулли. Предельные теоремы.
- •Случайные величины и их числовые характеристики.
- •Задачи математической статистики. Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •Параметры распределения.
- •Точечные и интервальные оценки.
- •Элементы теории корреляции.
- •Статистическая проверка статистических гипотез.
Элементарные функции
К основным элементарным функциям относятся пять классов функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические.
Лекция 10
Предел функции. Основные теоремы о пределах
Число
А
называется
пределом числовой последовательности
{хn},
если для
любого
>0
существует номер N=N(
)>0,
такой, что
для всех п>N
выполняется неравенство |хп—A|<
.
Если
А
–
предел
последовательности {хn},
то
это записывается следующим образом
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Пусть
функция у=f(х)
определена
в некоторой окрестности точки х0.
Тогда число
А называется
пределом
функции
у=f(х)
при хх0
(в точке х=х0),
если для любого
>0
существует
=
(
)>0,
такое,
что при 0 <|х—х0|<
справедливо неравенство |f(х)-А|<
.
Если
А
– предел
функции f(х)
при хх0,
то
записывают это так
В
самой точке х0
функция
f(х)
может
и не существовать (f(х0)
не определено).
Аналогично запись
обозначает,
что для любого
>0
существует N=N(
)>0,
такое, что при |х|>N
выполняется
неравенство
|f(х)-А|<
.
Если
существует предел вида
,
который
обозначают также
или f(х0-0),
то он называется пределом слева функции
f(х)
в
точке x0.
Аналогично
если существует предел вида
(в другой
записи
илиf(x0+0)),
то он называется пределом справа
функции
f(х)
в
точке
x0.
Пределы
слева и справа называются односторонними.
Для
существования предела функции f(х)
в
точке x0
необходимо
и достаточно, чтобы оба односторонних
предела в точке x0
существовали
и были равны, то есть f(x0-0)=f(x0+0).
Справедливы следующие основные теоремы о пределах.
Теорема
1.
Пусть
существуют
(i=1,…,
п).
Тогда
Теорема
2.
Пусть
существуют
и
Тогда
Эти
утверждения сохраняются и при х0
=.
Если
условия этих теорем не выполняются, то
могут возникнуть неопределенности
вида
-
,
,
и др., которые в простейшихслучаях
раскрываются с помощью алгебраических
преобразований.
Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Широко используются следующие два предела
1)
2)
,
которые называются соответственно первым и вторым замечательными пределами.
Если
(т. Е. для любого
>0
существует число
>0,
такоечто
при 0<
<
справедливо неравенство
<
),
то
называется
бесконечно малой
функцией
или величиной при х
.
Для
сравнения двух бесконечно малых функций
и
прих
находят предел их отношения
(1)
Если
С0,
то
и
называются бесконечно малыми величинамиодного и
того же порядка;
если С=0,
то
называется
бесконечно малой более высокого порядка
по сравнению с
,
а
- бесконечно
малой более низкого порядка по сравнению
с
.
Если
(0<
<
),
то
называется
бесконечно малой
порядка k,
по сравнению с
при
х
.
Если
,
то
бесконечно малые
и
при х
называются
эквивалентными
(равносильными)
величинами и обозначают
~
.
Например,
при х
~
,
~
х,
~
х,
—1~
..
Легко
доказать, что предел отношения бесконечно
малых функций
и
при х
равен пределу отношения эквивалентных
им бесконечно малых функций
и
при х
,
т.е. верны предельныеравенства
Лекция 11.
Непрерывность функции. Классификация точек разрыва функции.
Функция у=f(х) называется непрерывной при х=x0 (в точке x0), если:
функция f(х) определена в точке x0 и ее окрестности;
существует конечный предел функции f(х) в точке x0;
этот предел равен значению функции в точке x0 , то есть
(2)
Если
положить х=x0+,
то условие непрерывности (2) будетравносильно
условию
т.
Е. функция у=f(х)
непрерывна
в точке x0
тогда
и только тогда, когда бесконечно
малому приращению аргумента
соответствует бесконечно малое приращение
функции
.
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Точка
x0,
в
которой нарушено хотя бы одно из трех
условий непрерывности
функции, называется точкой разрыва
функции.
Если
в точке x0
существуют
конечные пределы f(x0-0)
и f(x0
+0),
такие, что f(x0-0)f(x0+0),
то x0
называется
точкой разрыва первого рода.
Если
хотя
бы один из пределов f(x0-0)
и f(x0+0)
не существует или равен бесконечности,
то точку x0
называют
точкой разрыва второго рода.
Если
f(x0-0)=f(x0
+0)
и
функция f(х)
не
определена в точке x0,
то
точку x0
называют
устранимой точкой разрыва функции.
Лекция 12