![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Учебная программа дисциплины
- •2. Данные о дисциплине:
- •1.7 Список литературы
- •1.8 Оценка знаний согласно шкале рейтинга
- •1.9 Политика и процедура
- •Учебно-методические материалы по дисциплине
- •2.1 Тематический план курса
- •2.2 Тезисы лекционных занятий
- •2.3 Планы практических занятий
- •Оценка участия в семинарах
- •Содержание домашних заданий
- •Оценка домашних заданий
- •Содержание заданий для срсп
- •Оценка заданий для срсп
- •Матрицы и операции над ними.
- •Определители и их свойства.
- •Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Векторы. Линейные операции над векторами.
- •Нелиейные операции над векторами. Метод координат
- •Прямая на плоскости.
- •Кривые 2-го порядка.
- •Уравнение плоскости.
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •Функция. Действительные числа. Предел функции. Односторонние пределы функции.
- •Элементарные функции
- •Предел функции. Основные теоремы о пределах
- •Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Широко используются следующие два предела
- •Непрерывность функции. Классификация точек разрыва функции.
- •Производная. Правила и формулы дифференцирования.
- •Производные высших порядков. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения.
- •Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя. Приложения производной и исследование функции.
- •Исследование поведения функции и построение их графиков.
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимтоты.
- •Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Интегрирование рациональных функций.
- •Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
- •Определенный интеграл. Условия существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
- •Проведя в точках деления a,b прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций. В каждом частичном интервале возьмем точки 1,2,…,т, так что
- •Оценка интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Приложения определенного интеграла.
- •Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных.
- •Частные производные высших порядков
- •Лекции 29. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения I порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Числовые ряды.
- •Признаки сходимости рядов
- •Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды.
- •Свойства степенных рядов.
- •Двойные и тройные интегралы.
- •Векторные и скалярные поля
- •Криволинейные интегралы
- •Случайные события. Определение вероятности.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Формула Бернулли. Предельные теоремы.
- •Случайные величины и их числовые характеристики.
- •Задачи математической статистики. Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •Параметры распределения.
- •Точечные и интервальные оценки.
- •Элементы теории корреляции.
- •Статистическая проверка статистических гипотез.
Уравнение плоскости.
Пусть заданы прямоугольная система
координат Oxyz,
произвольная плоскостьП,точкаи
вектор
Уравнение
(1)
определяет
плоскость, проходящую через точку
перпендикулярно вектору
В уравнении (1) раскроем скобки
.
Выражение, стоящее в скобках обозначаем через Д, тогда получим
(2)
Уравнение (2)
называется общим уравнением плоскости.
Вектор
называется нормальным вектором
плоскости.
Если
в общем, уравнении плоскости коэффициент
то, разделив все члены уравнения на–
Д, уравнение
плоскости можно привести к виду
(3)
здесь
Это уравнением плоскости в «отрезках»
в нема, b
и с
соответствует абсциссе, ординате и
аппликате точек пересечения плоскости
с осями координат Ох,
Оу,
Оz.
При любом расположении (2) плоскостей П1, П2
(4)
в
пространстве один из углов
между
ними равен углу между их нормальными
векторами и
вычисляется по формуле
(5)
Если два уравнения (4) определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны
(6)
Если
плоскости П1
и П2
параллельны, то коллениарны их нормальные
векторы
и
наоборот. Но тогда
(7)
Условие (7) является условием параллельности плоскостей.
Если
же плоскости П1
и П2
перпендикулярны,
то перпендикулярны их нормальные векторы
.
Но тогда их скалярное произведение
равно 0, т.е.
(8)
Равенство (8) определяет условие перпендикулярности плоскостей.
Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Прямая в пространстве может быть задана системой уравнений двух плоскостей
,
(1)
пересекающихся по этой прямой.
Уравнения
(1) называются общими уравнениями прямой.
Для решения задач уравнения (1) не всегда
удобны, по этому используют специальный
вид уравнения прямой.
Пусть
дана прямая L
и ненулевой вектор
лежащий на данной прямой
или параллельно
ей. На прямой L
возьмем точку M
тогда уравнение этой прямой можно
записать следующим образом
(2)
Уравнение (2) называется каноническим уравнением прямой.
От канонических уравнений прямой, введя параметр легко можно перейти к параметрическим уравнением:
(3)
Пусть заданы две прямые каноническими уравнениями.
и
При
любом расположении этих прямых в
пространстве, один из двух углов между
ними равен углу
между их направляющими векторами
.
Угол
можно вычислить по формуле
(4)
Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве имеют следующий вид
(5)
(6)
Рассмотрим
теперь взаимное расположение прямой
и плоскостиAx+By+Cz+D=0.
Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле
(7)
Условием параллельности прямой и плоскости является условие
(8)
а условием перпендикулярности прямой и плоскости
(9)
Лекция 8
Функция. Действительные числа. Предел функции. Односторонние пределы функции.
Совокупность
рациональных Q
и иррациональных чисел образует множество
действительных (вещественных) чисел R.
Между множеством
точек прямой и множеством R
всегда можно установить взаимно
однозначное
соответствие. Если это соответствие
установлено, то прямую
называют числовой осью.
Совокупность
всех чисел х,
удовлетворяющих
условию а<х<b
(а
х
b),
называется
интервалом (отрезком)
и
обозначается (a;
b)
([а; b]).
Модулем
(абсолютной величиной)
действительного
числа а
называют
неотрицательное число |а|,
определяемое
условиями:
=а,
если
а
0,
и
= -а
, если а
<
0. Для любых действительных чисел а и b
верно
неравенство |а+
b|
|а|+|
b|.
Если
каждому элементу х
D
по определенному правилу f
поставлен в
соответствие единственный элемент у,
то
говорят, что задана функция y=f(x),
где х
называется независимой переменной
или аргументом.
Множество
D
называется
областью определения функции,
а
множество значений, принимаемых функцией
у,
называется
областью ее значений
(изменения)
и обозначается
буквой Е. В
дальнейшем будем считать множества D
и Е
числовыми,
т. Е. будем рассматривать числовые
функции (если не оговорено противное).
В качестве D
и Е
могут быть
взяты отрезок [а;
b],
интервал
(а;
b),
полуинтервалы
(a;
b]
или [а;
b),отдельные
точки числовой оси, а также вся числовая
ось (—
;
+
).
Основными способами задания функций являются: табличный, графический, аналитический. При аналитической записи функции y=f(x) часто не указываются области D и Е, но они естественным образом определяются из свойств функции f(x).
Если
функция y=f(x)
осуществляет
взаимно однозначное отобраоляе
области D
на область
Е, то
можно однозначно выразить х
через
у:
х=g(у).
Последняя
функция называется обратной
по
отношению
к функции у=f(х).
Для функции
x=g(y)
множество
Е
является
областью определения,
а D
— областью
значений. Так как g(f(х))
х
и
f
(g(у))
у,
то
функции у=f(х)
и
х=
g(у)
– взаимно
обратные. Обратную функцию х=g(у)
обычно
переписывают в стандартном виде: у=g(х),
поменяв х
и
у
местами.
Взаимно обратными являются пары
функций: у=х3
и у=
,
у=2х
и у
= log2
х, у=sinх
и у=arcsin
x, для которых области
определения соответственно следующие:
х
(-
;+
)
и
х
(—
;+
),
х
(-
;+
)
и
х
(0; +
),
х
(-
;+
)
и
х
[-1; +1].
Если
функция u=(x)
определена на области D,
G — ее область
значений,
функция у=f(u)
определена на области G,
то функция у=f(
(х))=F(х)
называется
сложной функцией,
составленной
из функций f
и
,
или функцией f
от функции
.
Функцию
у=f((х))
называют
композицией двух
функций
у=f(u)
и u=
(x).
Сложная фуниция
может быть композицией большего числа
функций: трех, четырех
и т. Д.
Функции вида у=f(х) называются явными. Уравнение вида F(х, у)=0 также задает, вообще говоря, функциональную зависимость между х и у. В этом случае по определению у является неявной функцией х. Например, уравнение у3+х3=8 определяет у как неявную функцию от х.
Графиком функции у=f(х) называется множество точек М(х, у) плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют функциональной зависимости у=f(х). Графики взаимно обратных функций у=f(х) и у=g(х) симметричны относительно биссектрисы х=у.
Лекция 9