Теоретические замечания

В разделе об оптимизации издержек управления запасами в условиях постоянного спроса мы рассмотрели модель фиксированного размера заказа, которая предполагает, что восполнение запаса происходит периодически, и при этом каждый раз размер заказа один и тот же. Модель, определяет оптимальный размер заказа из соображений минимума суммы издержек хранения и издержек заказа за 1 год, тем самым, задавая средний уровень запаса данного товара на складе и частоту его заказов у поставщика.

Если поставщик выполняет поданный вами заказ за L дней, то для правильного функционирования в соответствие с моделью фиксированного размера заказа необходимо делать заказ на новую партию товара тогда, когда на

складе осталось d L единиц данного товара (где d – величина дневного спроса). В этом случае (см. Рис. 198) как раз к тому моменту, когда новый товар придет на склад, весь запас этого товара, до того хранившийся на складе, будет распродан. При этом уровень запаса на складе будет меняться со временем периодически от EOQ (экономичный размер заказа) до нуля.

Безопасный

резерв

ROP

d*L

Рис. 198

При случайном спросе (даже если он в среднем постоянен) ситуация, очевидно, усложнится. Если спрос за время ожидания поставки новой партии товара случайно оказался выше оставленного запаса, равного ожидаемому

среднему спросу d L, то возникнет дефицит (кривая уровня запаса на Рис. 198 во втором цикле уходит в отрицательную область). Если он случайно оказался ниже

оставленного запаса d L, то в момент прихода на склад новой партии товара, размером EOQ, на складе еще останется некоторое количество этого товара, и уровень запаса будет выше, чем требует модель экономичного размера заказа. Избежать случайных вариаций уровня запаса при случайном спросе, очевидно, нельзя, а вот возникновение дефицита, в рыночных условиях естественно избегать. Во-первых, дефицит означает потерю прибыли от упущенных продаж (спрос на которые реально был зафиксирован) и, во-вторых, грозит потерей доброго отношения клиентов, которые, не найдя у вас на складе товар, заявленный в ассортименте, уйдут к вашему конкуренту, что снизит спрос на товары фирмы в будущем.

Вследствие этого правильная оценка риска возникновения дефицита, проведение мероприятий по снижению риска дефицита до приемлемого уровня, обеспечивающего достойный уровень обслуживания клиента, и оценка связанных с ними издержек является важной задачей менеджера, отвечающего за управление запасами.

Постановка задачи о количественной оценке риска возникновения дефицита и плате за его снижение до заданного уровня.

Если на время ожидания поставки новой партии товара (L дней) оставлять

запас, равный среднему спросу за это время (d L единиц товара), то, очевидно, что вероятность дефицита составит 50%, поскольку, как часто и как сильно спрос отклоняется от среднего значения вверх, так же часто и так же сильно он отклоняется от него вниз. Понятно также, что для того, чтобы снизить риск возникновения дефицита, следует делать заказ поставщику на пополнение запаса тогда, когда запас данного товара на складе выше среднего спроса за время ожидания поставки. Чем выше величина этого резервного запаса (или, иначе, безопасного резерва), тем ниже риск возникновения дефицита.

С другой стороны, содержание безопасного резерва означает повышение уровня запаса данного товара на складе. Действительно, для минимизации

издержек по управлению запасами, уровень запаса должен меняться от EOQ, в момент разгрузки пришедшего от поставщика товара на склад, до нуля в момент, когда следующая партия товара от поставщика прибыла на склад (сразу после ее

разгрузки уровень товара опять подскочит до EOQ). При случайном спросе, уровень запаса в момент прибытия новой партии товара от поставщика в среднем будет составлять нуль: иногда на складе останется нераспроданный товар, а иногда уровень запаса будет формально отрицательным (см. Рис. 198), что означает неудовлетворенный спрос, дефицит. Если для снижения риска возникновения дефицита создается безопасный резерв, то средний уровень запас в момент прибытия новой партии товара от поставщика будет равен не нулю, а этому безопасному резерву. Последнее означает повышение среднего уровня запаса на складе на величину безопасного резерва и, соответственно, увеличение издержек хранения по сравнению с их оптимальным значением. Эти дополнительные издержки хранения и есть плата за снижение риска возникновения дефицита:

TH H SS

где TH – дополнительные издержки хранения безопасного резерва,

SS – (safety stock) – величина безопасного резерва в единицах хранения (шт.)

Для количественной оценки риска возникновения дефицита при заданном уровне безопасного резерва или, наоборот, для определения величины безопасного резерва при заданном уровне риска возникновения дефицита необходимо знать основные характеристики случайного спроса: его ожидаемое

(среднее) значение, стандартное отклонение и частотное распределение (или, точнее, распределение вероятностей) за время поставки.

Основные характеристики случайного спроса.

Как и всякая другая случайная величина, спрос характеризуется своим ожидаемым (средним) значением, стандартным отклонением (характеристика разброса относительно среднего) и частотным распределением.

Среднее значение и стандартное отклонение спроса за принятый единичный период (день, неделя) должны быть определены по историческим данным о продажах данного товара, т.е. по числовой выборке.

Из числовой выборки желательно исключать любые катастрофические периоды (природные, финансовые, политические), любые периоды, содержащие мероприятия по продвижению данного товара и т.п., оставляя лишь «серые будни», ничем не отличающиеся друг от друга.

Пример такой выборки приведен на рисунке (Рис. 199). По вертикальной оси отложены количества проданного в разные дни товара (в стандартных контейнерах), а по горизонтальной – номер дня.

2

1,6

1,2

0,8

0,4

0

Рис. 199

Как видно из диаграммы (Рис. 199), несмотря на то, что в приведенном примере спрос весьма значительно варьирует день ото дня, в среднем он постоянен. Если провести по выбранной совокупности точек, так называемую, линию тренда, то она окажется почти горизонтальной. Линия тренда представляет собой меняющийся со временем центр числовой выборки. Обычно ее проводят,

пользуясь принципом максимального правдоподобия, так, чтобы сумма квадратов отклонений точек выборки от линии тренда была минимальной.

Поскольку в рассматриваемом примере спрос в среднем не меняется со временем, его среднее значение можно найти простым усреднением всех точек выборки по формуле

N

xi

где xi – спрос в i-ый день, N – количество дней в выборке, x - не меняющееся со временем среднее значение спроса за 1 день.

Очевидно, что одно только среднее значение недостаточно для характеристики случайного спроса. Необходимо также характеризовать величину разброса точек выборки вокруг среднего значения. Наиболее употребительной характеристикой разброса является среднеквадратичное или стандартное

отклонение s. Эта величина определяется как корень квадратный из среднего значения квадрата отклонений ежедневного спроса от его среднего значения.

Среднее значение квадрата отклонений называется дисперсией s2.

N

(xi x)2

Причина популярности именно этой характеристики разброса, а не, скажем, среднего значения модулей отклонений спроса от среднего, или максимальных отклонений от среднего и т.п., состоит в следующем. Если нас интересует суммарный спрос за L дней или суммарный спрос на один и тот же

товар в L различных магазинах (обозначим его XL), иными словами, если мы изучаем случайный спрос, который можно представить как сумму случайных величин:

то оказывается, что среднее значение этого суммарного спроса равно сумме средних значений каждого из случайных слагаемых, т.е. сумме средних (ожидаемых) значений спроса каждый день, которые в случае в среднем

постоянного спроса одинаковы и равны x , т.е.

Аналогично, дисперсия этого суммарного спроса равна сумме дисперсий каждого случайного слагаемого, которые в случае не меняющегося спроса то же

одинаковы и равны дисперсии ежедневного спроса s2т.е.

Тогда для стандартного отклонения суммарного спроса за L дней получим

Приведенные соотношения, представляют собой известные теоремы теории вероятности и отражают важнейшие закономерности случайности, проявляющиеся на практике. Если мы реально сделаем выборку значений суммарного спроса за L дней, оценим стандартное отклонение этого суммарного спроса и сравним его со стандартным отклонением спроса за 1 день, мы найдем,

что стандартное отклонение выросло в L раз, в то время как среднее значение суммарного спроса стало в L раз выше среднего значения дневного спроса. Таким

образом, относительные вариации суммарного спроса за L дней в L раз меньше, чем относительные вариации дневного спроса. Для характеристики

относительных вариаций случайной величины используют коэффициент вариации:

Тогда можно написать, что коэффициент вариации суммарного спроса за L дней в L раз меньше, чем коэффициент вариации дневного спроса:

т.е. суммарный спрос за L дней в L раз менее случаен, чем ежедневный

спрос.

Подчеркнем еще раз, что при определении стандартного отклонения суммы случайных величин нельзя складывать стандартные отклонения каждой из них. Дело в том, что отклонения от среднего значения спроса одинаково часто и «с одинаковым размахом» происходят как вниз, так и вверх от него. Поэтому для суммы случайных величин они частично компенсируют друг друга. Закон, утверждающий, что складываются дисперсии этих величин (квадраты стандартных отклонений), количественно характеризует степень этой компенсации.

Заметим, что никакая другая характеристика разброса, кроме стандартного отклонения (корня из дисперсии), не позволяет выразить эти важнейшие статистические закономерности столь наглядно.

В случае, если числовая выборка значений спроса свидетельствует, что спрос непостоянен (см. Рис. 200), ожидаемая величина спроса, конечно, не может быть вычислена как простое среднее по выборке, по формуле

N

xi

x i 1 N

В этом случае с помощью специальных статистических методов прогноза нужно выделить линию тренда (в данном случае она включает линейный тренд с сезонными колебаниями) и продлить выделенные тенденции на некоторый промежуток времени в будущем.