Meтoдмaтepiaли ПРИКЛАДНА МЕХАНІКА / metod2a

Методика вирішення задач на побудову епюр згинаючих моментів.

1. Основні визначення, теоретичні положення і правила.

1.1. Характерні точки.

Побудову епюр згинаючих моментів можна виконувати спрощеним методом по характерним точкам. Характерні точки балки – це точки прикладення навантаження і точки опорних реакцій.

1.2. Метод перерізів.

1.2.1. Послідовно в кожній характерній точці проводимо переріз (на розрахунковій схемі переріз показуємо хвильовою лінією та показуємо з одного боку перерізу стрілку, що означає яку частину балки ми розглядаємо).

1.2.2. Частину балки що залишилася за перерізом – відкидаємо.

1.2.3. Складаємо рівняння рівноваги для частини балки, що залишилась і визначаємо внутрішнє зусилля в цій точці (внутрішній згинаючий момент).

1.2.4. В точці де прикладений зовнішній зосереджений момент, треба визначити внутрішнє зусилля два рази – ліворуч від перерізу та праворуч від перерізу. При побудові епюри значення ліворуч від перерізу з’єднують з лівою частиною епюри, а значення праворуч від перерізу – з правою частиною епюри.

3. Правило знаків при побудові епюр згинаючих моментів.

2. Приклад вирішення задачи на побудову епюр згинаючих моментів.

Задача.

Балка постійного поперечного перерізу, що має круглий профіль, навантажена згинаючим моментом m=30 кН*м, поперечною силою P=20 кН, і розподіленим навантаженням q=15 кН/м. Допустиме напруження для матеріалу балки – []=100 MПа. Відстані a = 1,5 м, b = 4 м, c = 2 м, ( l = 6 м).

Потрібно:

1) Побудувати епюру згинаючих моментів;

2) Виходячи з умови міцності розрахувати мінімально необхідний діаметр круглого перерізу балки.

Рис.1. Розрахункова схема.

Розв’язок

1) Складаємо розрахункову схему та позначаемо характерні точки: A i B – точки опор, С i D - точки прикладення навантаження. Під схемою залишаємо місце для побудови епюри,

2) Відкидаємо опори та замінюємо їх реакціями.

Пояснення.

З опорних точок проводимо стрілочки вертикально вверх та позначаємо їх R_A та R_B. У випадку, якщо в результаті подальших розрахунків якась з реакцій виявиться від’ємною (зі знаком мінус), потрібно буде змінити напрям цієї реакції (на схемі закреслити цю реакцію, а поряд показати стрілочку, спрямовану вертикально вниз).

3) Складаємо рівняння рівноваги та визначаємо з них реакції опор.

Пояснення.

Для плоскої системи сил можна скласти три рівняння рівноваги. Наприклад:

∑ M_A = 0;

∑ M_B = 0;

∑ Y = 0.

Наприклад, складаючи суму моментів відносно точки А, послідовно алгебраїчно додаються усі моменти від сил (тобто сили системи помножені на відстань до цієї точки) та зосереджені моменти з відповідними знаками. При цьому можна користуватися правилом: якщо момент обертає навколо вказаної точки проти годинникової стрілки – то він додатній, а якщо за годинниковою стрілкою – то він від’ємний. (Можна прийняти знаки моментів протилежні вищевказаному правилу – від цього результат розрахунків не зміниться). Рівномірно-розподілене навантаження слід замінимти однією силою Q, яка дорівнює добутку інтенсивності розподіленого навантаження q на довжину його дії (у нашому випадку: Q = q∙b), і прикладена посередині ділянки з рівномірно-розподіленим навантаженням.

3.1.) Замінюємо рівномірно-розподілене навантаження однією силою Q, та визначаємо цю силу:

Q = q ∙ b = 15 ∙ 4 = 60 кН∙м.

3.2.) Складаємо рівняння для суми моментів системи відносно точки А:

∑ M_A = P∙a - Q∙b/2 - m + R_B∙l = 0;

Звідси визначаємо:

R_B = (-P∙a + Q∙b/2 + m) / l = (-20∙1,5 + 60∙4/2 + 30) / 6 = 20 кН.

3.3.) Складаємо рівняння для суми моментів системи відносно точки B:

∑ M_B = P∙(a+l) - R_A∙l + Q∙(b/2+c) - m = 0;

Звідси визначаємо:

R_A = [P∙(a+l) + Q∙(b/2+c) – m] / l =

= [20∙(1,5+6) + 60∙(4/2+2) – 30] / 6 = 60 кН.

3.4.) Перевірка. Складаємо рівняння для суми проекцій всіх сил системи на вертикальну вісь:

∑ Y = R_A + R_B – P - Q = 60 + 20 - 20 – 60 = 0;

Сума проекцій всіх сил системи на вертикальну вісь дорівнює нулю, значить реакції опор визначено вірно.

4.) Використовуючи метод перерізів (див. пп. 1.2. та 1.3.) визначаємо значення внутрішніх згинаючих моментів в характерних точках. На схемі перерізи показуємо хвилястими лініями (див. рис.2.).

4.1.) Провівши переріз в т.С та підходячи до перерізу з лівої сторони (відкинувши частину балки праворуч від перерізу) визначаємо внутрішній згинаючий момент в т.С:

M_C = 0.

4.2.) Провівши переріз в т.A та підходячи до перерізу з лівої сторони (відкинувши частину балки праворуч від перерізу) визначаємо внутрішній згинаючий момент в т.A:

M_A = - P∙a = -20 ∙1,5 = -30 кН∙м.

4.3.) В точці B прикладено зосереджений момент m, тому в цій точці визначаємо два значення внутрішного моменту – праворуч та ліворуч від даної точки (див. п. 1.2.4.).

Провівши переріз праворуч від т.В та підходячи до перерізу з правої сторони (відкинувши частину балки ліворуч від перерізу) визначаємо внутрішній згинаючий момент праворуч від т.В:

M_ВП = 0 .

Провівши переріз ліворуч від т.В та підходячи до перерізу з правої сторони (відкинувши частину балки ліворуч від перерізу) визначаємо внутрішній згинаючий момент ліворуч від т.В:

M_ВЛ = -m = -30 кН∙м.

4.4.) Провівши переріз в т.D та підходячи до перерізу з правої сторони (відкинувши частину балки ліворуч від перерізу) визначаємо внутрішній згинаючий момент в т.D:

M_D = R_B∙c - m = 20 ∙2 – 30 = 10 кН∙м.

5.) Будуємо епюру згинаючих моментів. Для цього паралельно осі балки проводимо нульову лінію. Від нульової лінії в харарактерних точках в масштабі відкладуємо значення внутрішніх згинаючих моментів (додатні значення вверх, а від’ємні – вниз). Потім на ділянках без рівномірно розподіленого навантаження з’єднуємо точки прямими лініями, а на ділянках з рівномірно розподіленим навантаженням з’єднуємо точки квадратичними параболами, при цьому опуклість параболи повинна бути в сторону протилежну розподіленому навантаженню (див. рис.2.). В перерізі, де прикладено зосереджений момент завжди буде дві точки. При цьому ліву точку треба з’эднувати з лівою частиною епюри, а праву – з правою. Таким чином в точці прикладення зосередженого моменту на епюрі завжди буде стрибок на величину цього моменту.

6.) По епюрі визначаємо небезпечний переріз з максимальним згинаючим моментом. В нашому випадку – це два перерізи – в точках А і В. В цих точках:

M_max = 30 кН∙м = 30000 Н∙м.

Рис.1. Побудова епюри згинаючих моментів.

7.) Виходячи з умови міцності розраховуємо мінімально необхідний діаметр круглого перерізу балки:

.

Значення моменту підставляємо в Н∙м, а значення [] – в Па: