Meтoдмaтepiaли ПРИКЛАДНА МЕХАНІКА / metod1a

Методика вирішення задач на побудову епюр подовжніх сил та нормальних напружень

Задача

Ступінчастий стержень навантажено силами P₁=20 кН, P₂=40 кН, P₃=30 кН. Поперечні перерізи стержня – круглі. Площі поперечних перерізів - S₁=0,002 м², S₂=0,004 м². Допустиме напруження для матеріалу стержня – []=100 MПа.

Модуль пружності матеріалу E=2,1*10⁵ MПа, допустима деформація стержня [l] = 0,002 м. Відстані a = b = c = d = 0,2 м.

Потрібно:

1) Побудувати епюри подовжніх сил та нормальних напружень;

2) Дати висновок про міцність стержня.

3) Визначити сумарне переміщення l_ кінцевого перерізу стержня;

4. Перевірити конструкцію на жорсткість.

Розв’язок.

1. Креслимо стержень і позначаємо його подовжну вісь Х, спрямувавши її в сторону закріпленого кінця стержня (рис.1,а).

2. Поділимо стержень на ділянки та пронумеруємо їх починаючи від вільного кінця стержня (границями ділянок є перерізи стержня, де прикладено зовнішні сили, а також місця змін площ поперечних перерізів).

3. На кожній ділянці визначаємо внутрішню подовжню силу N, використовуючи метод перерізів. Для цього послідовно для кожної ділянки починючи з першої виконуємо такі дії:

• на кресленні стержня хвильовою лінією показуємо переріз в будь-якому місці ділянки;

• показуємо відстань від вільного кінця стержня до перерізу і частину стержня, що залишилась за перерізом подумки відкидаємо, замінюючи її дію внутрішньою силою N;

• для частини стержня, що залишилась, використовуючи рівняння рівноваги (Р + N = 0), визначаємо внутрішню подовжню силу N для цієї ділянки:

N = Р;

де Р – алгебраїчна сума зовнішніх сил, прикладених до частини стержня, що залишилась (при цьому якщо зовнішню силу спрямовано від перерізу – то її вважають додатньою, а якщо до перерізу – від’ємною).

У нашому випадку внутрішні сили на ділянках стержня визначаємо за формулами:

1 ділянка (0 <= x < a): N₁ = Р₁ = 20 кН;

2 ділянка (0 <= x < a+b): N₂ = Р₁ = 20 кН;

3 ділянка (0 <= x < a+b+c): N₃ = Р₁ – P₂ = 20 – 40 = -20 кН;

4 ділянка (0 <= x < a+b+c+d): N₄ = Р₁ – P₂ +P₃= 20 – 40 + 30 = 10 кН.

4. Будуємо епюру подовжніх сил, тобто графік функції N = N (х), в якому величина та знак ординати дорівнюють величині та знаку внутрішньої подовжньої сили N у відповідному перерізі стержня (рис.1,б).

5. Визначаємо нормальні напруження в поперечних перерізах стержня послідовно на кожній ділянці.

Припускаючи, що в поперечних перерізах розтягнутих або стиснутих стержнів внутрішні зусилля розташовуються рівномірно по перерізу, нормальне напруження в довільному поперечному перерізі визначається відношенням подовжнього внутрішнього зусилля в цьому перерізі до його площі перерізу даної ділянки:  = N / S, де N слід підставляти в ньютонах, а S – в м².

1 ділянка (0 <= x < a):

₁ = N₁/S₁ = 20000/0,002 = 10000000 Па = 10 МПа;

2 ділянка (0 <= x < a+b):

₂ = N₂/S₂ = 20000/0,004 = 5000000 Па = 5 МПа;

3 ділянка (0 <= x < a+b+c):

₃ = N₃/S₂ = -20000/0,004 = -5000000 Па = -5 МПа;

4 ділянка (0 <= x < a+b+c+d):

₄ = N₄/S₂ = 10000/0,004 = 2500000 Па = 2,5 Мпа.

6. Будуємо епюру нормальних напружень по довжині бруса (рис.1,в).

7. Визначаємо положення небезпечної ділянки.

Небезпечною є перша ділянка, тому що на цій ділянці діють максимальні напруження: _max = |₁| = 10 МПа.

8. Перевіряємо конструкцію на міцність.

_max = 10 МПа  [] = 100 МПа.

Робимо висновок – умова міцності виконується, і тому стержень задане навантаження витримає.

9. Визначаємо сумарне переміщення кінцевого перерізу стержня.

l_ = l₁ + l₂ + l₃+ l₄ = =

= =

= =

== м = мм

10. Перевіряємо конструкцію на жорсткість:

l_| = м  [l] = м

Робимо висновок – умова жорсткості виконується, і тому стержень задане навантаження витримає.

а б в

Рис.1. Побудова епюр подовжніх сил та нормальних напружень.