Індивідуальна робота

Якщо обертання тіла прискорене, то вектори V та aτ спрямовані в один бік (рис.К2.32), якщо сповільнене – в протилежні.

Передача обертання від одного твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої вісі, другому тілу, що обертається навколо іншої нерухомої вісі, відбувається за допомогою зубчастого або фрикційного зачеплень двох коліс (рис.К2.33,а,б) та за допомогою пасової передачі (рис.К2.34,а,б).

При внутрішньому зачепленні (рис.К2.33,а) та несхрещуваній пасовій передачі (рис.К2.34,а,) напрямки обертання коліс співпадають. При зовнішньому зачепленні (рис.К2.33,б) та схрещуваній пасовій передачі (рис.К2.34,б) напрямки обертання коліс протилежні. Величини швидкостей точок на ободі зубчастих коліс, що знаходяться в зачепленні, рівні. Рівні за модулем також і швидкості точок на ободі шківів пасової передачі, якщо відсутнє ковзання пасу по шківу. Кутові швидкості коліс обернено пропорціональні числам зубців або

де z1 , z2 - числа зубців першого та другого коліс відповідно.

Зубчасті колеса та пасові передачі, які зображено на рис.К2.33 та К2.34, є прикладами послідовного з'єднання коліс та шківів. При послідовному з'єднані кожне з коліс обертається навколо своєї нерухомої вісі. В деяких випадках застосовують паралельне з'єднання коліс, коли два колеса обертаються навколо однієї нерухомої вісі. Якщо при цьому вони жорстко з'єднані одне з одним (колеса 2 на рис.К2.1… К2.30), то їх кутові швидкості однакові.

Розв’язок типових завдань на перетворення найпростіших (поступального та обертального) рухів твердих тіл незалежно від способу передачі руху рекомендується виконувати в такій послідовності.

1.Згідно з умовами завдання з табл.К2.1 виписати задане рівняння руху твердого тіла: x = x1( t ) - для поступального прямолінійного,

ϕ=ϕ3 ( t ) - при обертанні навколо нерухомої вісі.

2.У випадку заданого поступального руху тіла 1 знайти швидкість та прискорення точки А, користуючись формулами кінематики точки.

3.У випадку заданого обертального руху тіла 3 знайти кутову швидкість

ω та кутове прискорення ε тіла 3, швидкістьV , складові aτ , an та повне a

прискорення його точки А.

4. Знайти рівняння кутової швидкості іншого тіла, якому передається рух, а також визначити швидкість та прискорення точки В цього тіла, аналогічно пп.2 та 3.

Приклад виконання завдання К2 Колесо 3 обертається навколо нерухомої вісі, яка проходить через центр

O3 перпендикулярно площині обертання, згідно з законом ϕ3 = t − 2t 2 (рис.К2.35)

і за допомогою пасової передачі обертає два інші колеса, які мають спільну нерухому вісь обертання та жорстко скріплені одне з одним (паралельне з'єднання коліс 2). Рух вантажу 1 відбувається за допомогою мотузки, яка намотується на

колесо 2 радіуса R2 . В момент часу t1 =0,5 сек. визначити швидкості та прискорення точок А та В, якщо радіуси коліс r2 =20 см, R2 =30 см, R3 =40 см;

ковзанням пасу нехтувати.

Розв'язок

1. Визначаємо рух тіл механізму: колеса 2 та 3 мають обертальний рух навколо нерухомих вісей, які проходять через центри O2 таO3 , тіло 1 –

поступальний.

2-3. По заданому закону обертання колеса 3 згідно з формулами (К2.5) та (К2.6) визначаємо алгебраїчні значення кутової швидкості та кутового прискорення

які в момент часу t1 =0,5 сек. відповідно дорівнюють:

ω3 = −1; модуль ω3 =1 рад./с;

ε3 = −4 ; модуль ε3 =4 рад./с2.

Вцей момент часу дугові стрілки для кутової швидкості та кутового прискорення необхідно спрямовувати в бік, протилежний додатному напрямку відліку кута ϕ3 , так як алгебраїчні значення кутової швидкості та кутового

прискорення від'ємні.

Модулі швидкості та прискорень точки А ободу колеса 3 визначаємо з

4.Так як всі точки пасу мають однакові швидкості по модулю, то

VA = VC або ω3 × R3 = ω2 × r2 .

Звідси рівняння кутової швидкості коліс 2 має вигляд:

В момент часу t1 =0,5 сек. Відповідно

VD = 2(1 - 4 × 0,5 ) × 30 = 60 см/с; aDτ = 8 × 30 = 240 см/с2.

Швидкості та прискорення всіх точок мотузки, а також вантажу 1 при його поступальному русі однакові, тобто

VB = VD = 60 см/с; aB = aDτ = 240 см/с2.

Вектори визначених кінематичних характеристик руху тіл механізму показані на рис.К2.35.

ЗАВДАННЯ К3

ВИЗНАЧЕННЯ АБСОЛЮТНОЇ ШВИДКОСТІ ТА АБСОЛЮТНОГО ПРИСКОРЕННЯ ТОЧКИ ПРИ ЇЇ СКЛАДНОМУ РУСІ

Точка А рухається відносно тіла 1 згідно з заданими рівняннями відносного руху точки А та руху тіла 1. Визначити для моменту часу t = t1

абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки А.

Схеми механізмів показані на рис.К3.1… К3.30, а необхідні для розрахунку дані приведені в табл.К3.1.

Теоретичні передумови Якщо вивчаємо рух точки А по відношенню до системи координат

O1 x1 y1 z1 (рис.К3.31), яка в свою чергу рухається відносно нерухомої системи відліку Oxyz , то рух точки А по відношенню до рухомих вісей O1 x1 y1 z1 називається відносним. Рух вісей O1 x1 y1 z1 , які жорстко скріплені з точкою А, відносно нерухомої системи відліку Oxyz , називається переносним, а

рух точки А відносно нерухомих вісей називається в цьому випадку складним, складеним або абсолютним рухом. В зв’язку з цим розрізняють абсолютну Va ,

відносну Vr та переноснуVe швидкості точки А, а також абсолютнеaa , відноснеar та переноснеae прискорення цієї точки. Відносною швидкістю та відносним

прискоренням точки є її швидкість та прискорення у відносному русі, абсолютною швидкістю та абсолютним прискоренням – швидкість та прискорення в абсолютному русі. Переносною швидкістю та переносним прискоренням точки називається відповідно швидкість та прискорення цієї точки, незмінно зв’язаної з рухомою системою вісей, з якою в даний момент збігається точка А.

Залежність між абсолютною, відносною та переносною швидкостями точки при її складному русі визначається теоремою про додавання швидкостей:

Для визначення відносної швидкості точки необхідно подумки зупинити переносний рух та визначити відносну швидкість за правилами кінематики точки.

Для визначення переносної швидкості точки достатньо подумки зупинити відносний рух і визначити переносну швидкість за правилами кінематики точки (або кінематики твердого тіла), як швидкість цієї точки рухомої системи координат, з якою співпадає в даний момент рухома точка.

Модуль та напрямок вектора абсолютної швидкості визначається за

Ve .

В деяких випадках зручно застосовувати формулу в проекціях на

Продовження табл.К3.1

а напрямок – по відповідним косинусам:

переносному рухах визначається теоремою про додавання прискорень (теоремою Коріоліса): a a = ae + a r + ac , (К3.7) де ac - прискорення Коріоліса.

Модулі та напрямки векторів швидкості та прискорення точки в її переносному та відносному рухах визначаються за формулами та властивостями того чи іншого руху, яке здійснює точка в переносному та відносному рухах. Тоді в загальному випадку рівняння (К3.7) матиме вигляд:

при криволінійному рівномірному переносному та відносному рухах відповідні

5)подумки зупинити відносний рух та згідно з рівняннями переносного руху, визначити переносну швидкість та переносне прискорення;

6)застосувавши теорему про додавання швидкостей, визначити абсолютну швидкість по модулю та напрямку;

7)за відомими кутовою швидкістю переносного руху та швидкістю точки в відносному русі знайти коріолісове прискорення точки за модулем та напрямком;

8)визначити проекції абсолютного прискорення точки методом проекцій;

9)за обчисленими проекціями абсолютного прискорення визначити абсолютне прискорення за модулем та напрямком.

Приклад виконання завдання К3

Півдиск 1 радіусом R =40 см обертається навколо вертикальної вісі z за законом ϕ = 0,5( t 2 − 1) рад/с. По колу півдиску рухається точка А за законом

S = OA = 10πt 2 , де S виражається в см, t - в сек.

Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки А в момент часу t1 =1сек. (рис.К3.34).

Розв'язок

1. Приймаємо, що в заданий момент часу площина рисунку К3.34 співпадає з площиною півдиску 1. Положення точки А на ободі півдиску визначається

зв’язаних з півдиском. Нерухому систему координат спрямовуємо так, щоб вісь z співпадала з віссю z1 .

3. Точка А бере участь в складному абсолютному русі. Розкладаємо цей рух точки на обертальний рух разом з півдиском навколо вісі z(z1 ) та криволінійний

поступальний рух точки по ободу півдиску. Тоді перший рух для точки А – переносний за законом обертального руху ϕе = 0,5( t 2 − 1), другий – відносний за законом поступального руху Sr = 10πt 2 .

4.За формулами кінематики точки (див .завдання К1) визначаємо:

напрямку вектора швидкості V r .Вектор прискорення arn спрямовано до центру кривизни траєкторії відносного руху, тобто до центру O1 по радіусу півдиску.

5. Так як переносним рухом є обертання півдиску разом з точкою А навколо нерухомої вісі z(z1 ) , то траєкторією руху точки в переносному русі є коло

радіусом r = Rsinϕ , площина якого перпендикулярна вісі обертання з центром на вісі обертання (точка O1 ).

Знаки "+" величин ωe та ε e вказують, що обертання півдиску 1 відбувається в додатній бік кута ϕe , тобто проти годинникової стрілки. Так як знаки величин

однакові, то обертання півдиску (разом з точкою А) в даний момент часу є прискореним.

Швидкість переносного руху при t1 =1сек. Ve = r ×ωe = 28,3 ×1 = 28,3 см/с.

Вектор V e спрямовано по дотичній до кола (траєкторії переносного руху), тобто перпендикулярно до радіуса в напрямку обертання, V e ^ AO2 .

Модулі складових прискорень переносного руху при t1 =1сек.

a τ = ε × r =1× 28,3 = 28,3см/с2; a = ω 2 × r =12 × 28,3 = 28,3 см/с2.

e e en e

Переносне нормальне прискорення aen спрямоване по найкоротшій відстані від точки А до вісі, тобто по AO2 . Переносне дотичне прискорення aeτ перпендикулярне aen та спрямоване у відповідності з напрямком кутового прискорення по вектору швидкості V e .

6.Абсолютну швидкість точки А знайдемо як геометричну суму відносної та

8-9. Абсолютне прискорення точки А знайдемо за допомогою формули (К3.8)

aa = aeτ + aen + arτ + arn + ac ,

проектуючи обидві частини векторного рівняння на прямокутні вісі координат xyz та враховуючи напрямки складових прискорень (рис.К3.34):

aax = −aeτ − ac = −28,3 − 88,8 = −117,1 см/с2; aay = −aen + arτ sin 450 − arn sin 450 =

= −28,3 + 20π sin 450 − 10π 2 sin 450 ≈ −53,6 см/с2; aaz = arτ cos 450 + arn cos 450 =

= 20π cos 450 + 10π 2 cos 450 ≈ 114,2 см/с2.

Модуль абсолютного прискорення точки дорівнює:

aa = aax2 + aay2 + aaz2 = ( −117,1)2 + ( −53,6 )2 + (114,2 )2 ≈ 172,1 см/с2.

ЗАВДАННЯ К4

ПЛОСКИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА.КІНЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ ПЛОСКОГО МЕХАНІЗМУ

Для заданого положення механізмів, які зображені на рис.К4.1… К4.30, визначити швидкості та прискорення точок В та С, а також кутову швидкість та кутове прискорення ланки, до якої ці точки належать. Необхідні для розрахунку дані наведено в табл.К4.1.

На схемі механізму при його кінематичному аналізі показати вектори швидкостей, повні та складові прискорення точок А, В та С і дугові стрілки, які зображають кутові швидкості та кутові прискорення ланок механізму.

Теоретичні передумови Плоско-паралельним або плоским називається такий рух твердого тіла, при

якому всі його точки рухаються паралельно деякій нерухомій площині. Цей рух відносять до складного плоского руху. Прикладами плоского руху є рух конуса по нерухомій площині, кочення колеса вздовж прямої лінії, рух шатуна кривошипноповзунного механізму.

Вивчення плоского руху твердого тіла звидиться до вивчення руху плоскої фігури S у своїй площині II, яка паралельна деякій нерухомій площині I. (рис.К4.31). Положення фігури S на площині xOy визначається положенням будь-

якого відрізка АВ (рис.К4.32), який проведено на цій фігурі, тобто вивчення руху фігури S на площині xOy зводиться до вивчення руху прямолінійного відрізка АВ,

Таблиця К4.1

Примітка. При коченні коліс проковзуванням нехтуємо.