Metodichka_dlya_zaochnik_2_sem (1)
.pdfПриклад 42. |
Знайти частинний |
розв’язок диференціального |
рівняння |
||||
y′′−3y′+ 2 y = 4sin 2x , який задовольняє початковим умовам: y (0)= −1, |
y′(0)=1. |
||||||
Розв’язання. Відповідне однорідне рівняння |
|
|
|
|
|||
|
y′′−3y′+ 2 y = 0 , |
|
|
|
|
||
його характеристичне рівняння k 2 −3k + 2 = 0 , корені якого |
k |
= 2, k |
2 |
=1, отже |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд |
|
|
|
|
|||
|
y = C e2 x +C |
ex . |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Тепер, оскільки |
f (x)= 4sin 2x , то згідно (56) маємо α = 0, β = 2 ; частинний |
розв’язок шукаємо у вигляді
y =(Acos 2x + B sin 2x) x0 = Acos 2x + Bsin 2x .
Тут r = 0 , оскільки ±2i не є коренем характеристичного рівняння. Тепер диференціюємо y двічі:
y′ = −2 Asin 2x +2B cos 2x; y′′ = −4Acos 2x −4Bsin 2x.
Підставимо отримані вирази в рівняння:
−4Acos 2x −4Bsin 2x −3(−2Asin 2x +2B cos 2x)+2Acos 2x +2Bsin 2x = 4sin 2x .
Зведемо подібні члени і прирівняємо коефіцієнти при відповідних членах: cos 2x(−4 A −6B +2 A)+sin 2x(−4B +6 A +2B)= 4sin 2x
|
−6B −2 A = 0, |
|
|
A = −3B, |
|
|
A = |
3 |
|
= 0,6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
−2B +6 A = 4, |
|
−2B −18B = 4, |
|
B = − |
= −0, 2 |
|||||
|
|
|
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, частинний розв’язок неоднорідного рівняння є y = 0,6cos 2x −0, 2sin 2x .
Тоді загальний розв’язок неоднорідного рівняння запишемо у вигляді y = y + y = C1e2 x +C2ex +0,6cos 2x −0, 2sin 2x .
Знайдемо тепер частинний розв’язок, що задовольняє початковим умовам. Підставимо x = 0, y = −1 в розв’язок:
31
−1 =C1 +C2 +0,6 .
Продиференціюємо y та підставимо в отриманий вираз x = 0, y′ =1:
y′ = 2C1e2 x +C2ex −1, 2sin 2x −0, 4 cos 2x, 1 = 2C1 +C2 −0, 4.
Отже, для знаходження C1 і C2 маємо систему
−1,6 =C1 +C2 ,
1, 4 = 2C1 +C2 .
Віднімемо від другого рівняння системи перше:
1, 4 +1,6 = 2C1 −C1 +C2 −C2 3 =C1 ,
отже, з першого рівняння тоді
C2 = −1,6 −C1 = −4,6.
Запишемо остаточну відповідь: частинний розв’язок диференціального рівняння має вигляд
y = 3e2 x −4,6 ex +0,6cos 2x −0, 2sin 2x .
32
КОНТРОЛЬНА РОБОТА №3
81-90. Знайти невизначені інтеграли.
81.а) ∫x2 +2 dx ;
x2 +1
г) ∫(x +2)e3x dx ;
82.а) ∫x2 −2 dx ;
x2 +2
г) ∫(x +3)e−2 x dx ;
83.а) ∫ x2 −1 dx ;
x2 +2
г) ∫2 +x dxx +1 ;
84.а) ∫ 2x +1 dx ;
x2 +4
г) ∫(x +3)sin 2xdx ;
85.а) ∫ 2x2−+x5 dx ;
г) ∫(x −3)cos 2xdx ;
86.а) ∫ 1+2x dx ;
x2 −5
г) ∫x ln (x +5)dx ;
87.а) ∫ 2x2−−x6 dx ;
г) ∫ln (x2 +2)dx ;
б) ∫ |
dx |
; |
в) ∫ |
|
dx |
; |
|
|
|
|||||
x2 +4x −3 |
|
2 + x |
|
|
||||||||||
д) ∫(sin 5x +e−5 x |
+ tg 3x −5)dx . |
|
|
|||||||||||
б) ∫ |
dx |
; |
в) ∫ |
|
xdx |
; |
||||||||
x2 +2x +11 |
1+ x −1 |
|||||||||||||
д) ∫(cos 4x +e4 x −ctg 2x −9)dx . |
|
|
||||||||||||
б) ∫ |
dx |
; |
в) ∫(x +3)e2 x dx ; |
|||||||||||
x2 −2x +9 |
||||||||||||||
д) ∫(cos 6x −tg 3x +24 x −7)dx . |
|
|
||||||||||||
б) ∫ |
dx |
; |
в) ∫ |
x dx |
; |
|||||||||
x2 −4x +7 |
3 + x +1 |
|||||||||||||
д) ∫(tg 3x −e4 x +cos3x −3)dx . |
|
|
||||||||||||
б) ∫ |
dx |
в) ∫ |
|
x dx |
|
|
||||||||
|
; |
|
|
; |
||||||||||
x2 +6x +11 |
1+ x +4 |
|
||||||||||||
д) ∫(ctg 2x −e−2 x |
+sin 5x +3)dx . |
|
|
|||||||||||
б) ∫ |
dx |
в) ∫ |
x dx |
|
|
|||||||||
|
; |
|
; |
|||||||||||
x2 −6x +10 |
1+ x +3 |
д) ∫(sin 3x −cos 4x +e−4 x + tg 2x −1)dx .
б) ∫ |
dx |
; |
в) ∫ |
x dx |
; |
x2 +8x +17 |
3 + x + 2 |
д) ∫(tg 3x −cos3x +e3x −3)dx .
33
88.а) ∫ 4x2−+x6 dx ;
г) ∫xsin 5xdx ;
89.а) ∫ xx2+−42 dx ;
г) ∫arctg 2xdx ;
90.а) ∫x2 +7 dx ;
x2 +6
г) ∫arcctg 3x dx ;
б) ∫ |
dx |
; |
|
в) ∫ |
|
x dx |
; |
|
|||
x2 −8x +18 |
|
|
4 + x +1 |
|
|||||||
д) ∫(ctg 4x −cos 4x +e−4 x |
+4)dx . |
|
|||||||||
б) ∫ |
dx |
|
|
∫ |
|
x dx |
|
||||
|
; |
в) |
|
|
|
; |
|
||||
x2 +10x + 26 |
4 − x +2 |
|
|||||||||
д) ∫(sin 5x −tg 5x −e−5 x +5)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) ∫ |
dx |
; |
|
|
|
в) ∫ |
xdx |
; |
|||
x2 −10x +27 |
|
|
|
4 + x −2 |
д) ∫(cos 6x +ctg 6x −e6 x −6)dx.
|
91-100. Обчислити визначені інтеграли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
91. |
а) ∫1 |
|
x dx |
|
; |
б) |
∫4 |
|
|
x dx |
. |
|
|
|
|
|
96. а) |
π∫sin 4x dx ; |
б) |
∫3 |
|
dx |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
x + |
|
|
|
|
0 3 + x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x +1 +2 |
|||||||||||||||||||
92. |
а) ∫2 |
|
x dx |
|
; |
б) |
∫9 |
|
|
x +1 |
|
dx . |
|
|
97. а) |
∫1 e3x dx ; |
б) |
∫1 |
|
dx |
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
4 |
|
|
x +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
x + |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
−7 3 + 2 − x |
|||||||||||||||||||
|
а) ∫3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
∫1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
∫9 |
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||
93. |
|
; |
|
|
б) |
|
|
. |
|
|
98. а) |
∫2 |
tg 2x dx ; |
б) |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 2x −7 |
|
|
|
|
|
−2 4 + x +3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 12 + |
|
|
x |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
x dx |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
94. |
; |
|
|
б) |
|
|
. |
|
|
99. а) ∫ctg |
x |
dx ; |
б) |
∫ |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
9 + |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
2 + x +5 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95. |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
2 |
x |
|
4 |
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) ∫cos3x dx; б) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100. а) ∫2 dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 4 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
101-110. Обчислити невласні інтеграли або довести їх розбіжність. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
x dx |
|
|
∞ |
x dx |
|
|
|
∞ |
|
|
dx |
|||||||||||||
|
101. ∫0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
102. ∫0 |
|
. |
103. ∫0 |
|
. |
|
104. ∫e |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
2x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +3 |
x2 +4 |
|
x |
|
ln x |
34
|
+∞ |
dx |
|
∞ |
dx |
∞ |
dx |
∞ |
x dx |
|||||||
105. |
−∞∫ |
|
|
. |
106. |
∫e |
|
|
. |
107. ∫1 |
|
. |
108. ∫1 |
|
. |
|
x2 +2x +9 |
x 3 ln x |
3x +1 |
x2 +6 |
|||||||||||||
|
∞ |
dx |
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
109. |
∫e |
|
. |
110. |
∫0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
x ln2 x |
x2 +7 |
|
|
|
|
|
|
111. Обчислити площу фігури, яка обмежена лініями y = 3 − x2 та
y =3 − 3x .
112. Обчислити площу фігури, яка обмежена лінією ρ = 2 +cosϕ .
113. Обчислити площу фігури, яка обмежена лініями xy = 3, x =1, x = 3 ,
y= 0 .
114.Обчислити площу фігури, яка обмежена лінією ρ = 2 +sinϕ .
115.Обчислити площу фігури, яка обмежена лініями x =3y2 , y = 3x .
116.Обчислити площу фігури, яка обмежена лінією ρ = 3 −cosϕ .
117. Обчислити площу фігури, яка обмежена лініями x = 4 y2 , x = 4 y .
118.Обчислити площу фігури, яка обмежена лінією ρ = 3 −sinϕ .
119.Обчислити площу фігури, яка обмежена лініями 4 y = x2 , y = x .
120.Обчислити площу фігури, яка обмежена лінією ρ = 3 +cosϕ .
121. Обчислити довжину дуги лінії x =8sin t +6cos t, y = 6sin t −8cos t ,
0 ≤t ≤ π2 .
122. Обчислити об’єм тіла, яке утворюється при обертанні навколо осі Ox лінії y = sin x, 0 ≤ x ≤π .
123. Обчислити довжину дуги лінії x = 2(t −sin t ), y = 2(1−cost ),
0 ≤ t ≤ 2π .
124. Обчислити об’єм тіла, що утворюється обертанням навколо осі Oy
фігури, яка обмежена лініями xy = 4, y =1, y = 4, x = 0 .
35
125.Обчислити довжину дуги лінії y =ln cos x, 0 ≤ x ≤ π4 .
126.Обчислити об’єм тіла, яке утворюється обертанням навколо осі Oy
фігури, яка обмежена лініями x = 2 y, x = 3 − y, x = 0.
127.Обчислити довжину дуги лінії y = ln sin x, π4 ≤ x ≤ π2 .
128.Обчислити об’єм тіла, яке утворюється обертанням навколо осі Ox
фігури, яка обмежена лініями y = x3 , y = 0, x = 2 .
129. Обчислити довжину дуги лінії x =3(t −sin t ), y =3(1−cost), 0 ≤ t ≤ 2π . 130. Обчислити об’єм тіла, яке утворюється при обертанні навколо осі Ox
фігури, яка обмежена лініями x = y2 , x = 4, y = 0 .
КОНТРОЛЬНА РОБОТА №4
131-140. Знайти частинні похідні |
∂z , |
∂z |
|
, |
∂2 z |
функції z = f (x, y). |
||||
∂y |
|
|||||||||
|
|
|
∂x |
|
∂x∂y |
|
|
|||
131. |
z = e3x−4 y2 . |
132. |
z = ex2 +3 y . |
133. |
z = 25x+2 y3 . |
|||||
134. |
z = 24 x2 −2 y . |
135. |
z = ln (x2 −5y). |
136. |
z = ln (3x − y2 ). |
|||||
137. |
z = arctg (3x − y2 ). |
138. |
z = arctg (x2 +4 y). |
|
||||||
139. |
z = arcsin (2x + y3 ). |
140. |
z = arccos (x3 −2 y). |
|
||||||
141-150. Знайти екстремум функції z = f (x, y). |
|
|
||||||||
141. |
z = x2 + y2 −8x −2 . |
|
142. |
z = 3x2 + y2 + 4 y +5 . |
||||||
143. |
z = x2 + xy + 2 y2 −5x + y . |
144. |
z = 5x2 − y2 + 20x +1. |
|||||||
145. |
z = xy (1− x − y). |
|
146. |
z = xy (1+ x + y). |
|
36
147. |
z = x2 −2 y2 + 4 y −6x +1. |
148. |
z = x2 + xy + y2 −2x + y . |
149. |
z = x2 + y2 + 4 y +5 . |
150. |
z = 3x2 + y2 + xy +11x + 2 . |
151-160. Знайти рівняння прямої |
y = ax +b методом найменших квадратів, |
користуючись таблицею значень. 151.
|
x |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2,92 |
|
1,04 |
0,06 |
|
−0,94 |
|
−2,03 |
||||||
152. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1,03 |
|
3,96 |
6,98 |
10,02 |
|
|
12,94 |
|
|
||||
153. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0,04 |
|
2,96 |
|
5,98 |
|
9,08 |
|
|
11,94 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
0,06 |
|
1,98 |
4,02 |
5,96 |
|
|
8,08 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
155. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
156.
|
x |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0,02 |
3,92 |
7,94 |
|
12,04 |
|
15,96 |
||||
157. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0,04 |
4,94 |
|
9,92 |
|
15,06 |
|
19,98 |
|||
158. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
3,98 |
3,02 |
1,96 |
|
1,08 |
|
0,02 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
159. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
3,04 |
1,98 |
1,06 |
|
0,08 |
|
−0,96 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
y |
0,08 |
0,96 |
2,02 |
3,04 |
3,92 |
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
y |
4,52 |
3,96 |
3, 48 |
3,02 |
2,54 |
|
|
|
|
|
|
161-170. Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь.
|
|
( |
|
2 |
) |
′ |
|
2 |
|
|
( |
|
2 |
) |
|
′ |
|
2 |
|
161. |
а) |
|
x |
−1 y |
+2xy |
= 0 ; |
б) |
|
xy + x |
|
y |
= y |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
162. |
а) |
x2 y2 y′ = y +3 ; |
|
|
б) |
xy′+ y = x +1. |
|
|
37
163. |
а) |
(x |
2 +2)y′+2xy2 = 0 ; |
б) (2xy + y2 )y′ = y2 . |
|||||||||||||||
164. |
а) |
( |
3x + xy2 )y′= 4 ; |
б) 2xyy′ = x2 − y2 . |
|||||||||||||||
165. |
а) |
(x2 +2)y′= 2x − xy2 ; |
б) |
xy′+ 4 y = x4 . |
|
|
|||||||||||||
166. |
а) |
y2 +4 =(x2 y −4 y)y′; |
б) |
xy′+ 2 y = x2 . |
|
|
|||||||||||||
167. |
а) ( |
4 |
+ x2 )y′=3x +3y2 ; |
б) |
x2 y′ = xy − y2 . |
|
|||||||||||||
168. |
а) ( |
2 |
+ x2 )y′= x +3xy ; |
б) |
y′− y = ex . |
|
|
||||||||||||
|
|
( |
|
|
2 |
) |
|
′ |
= x +2xy ; |
|
|
2 |
|
′ |
|
3 |
|
3 |
|
169. |
а) |
1+ x |
|
y |
б) |
xy |
y |
= x |
+ y |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
170. |
а) |
(x |
2 +2)y′= −2xy2 ; |
б) |
xy′+ y = x +1. |
|
171-180. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам.
171. |
y′′+3y′+2 y =8x2 +4; |
y (0)=1, |
y′(0)= 0 . |
|||
172. |
y′′−3y′+2 y =18xe−x ; |
y (0)= −1, |
y′(0)=1. |
|||
173. |
y′′−4 y′+4 y =8cos x; |
y (0)= 2, |
y′(0)= −1. |
|||
174. |
y′′+4 y′+4 y = x2 + x +2; |
y (0)= −2, y′(0)=1. |
||||
175. |
y′′−2 y′+5y =3xe2 x ; |
y (0)=1, y′(0)= 0 . |
||||
176. |
y′′−2 y′+15 y = −45x2 +7, 2; |
y (0)= 2, |
y′(0)= −2 . |
|||
177. |
y′′+ y′−6 y =39sin 3x; |
y (0)=3, |
y′(0)= −1. |
|||
178. |
y′′− y′−6 y = 27cos 2x; |
y (0)=1, |
y′(0)= 0. |
|||
179. |
y′′+10 y′+25y = −25x2 +25; |
y (0)= 4, |
y′(0)=3 . |
|||
180. |
y′′+4 y′+8 y =8x2 +16x +6; |
y (0)= 2, |
y′(0)= 0. |
38