Дискретное преобразование Лапласа

Для решетчатых функций введено понятие дискретного преобразования Лапласа в соответствии с формулой

. (3)

Для смещенных решетчатых функций может быть записано аналогичное выражение:

. (4)

В приведенных формулах, как и в случае непрерывного преобразования Лапласа, комплексная величина p=c+jω, где с – абсцисса абсолютной сходимости. Если с, то ряд, определяемый формулами (3,4), сходится и решетчатой функции соответствует некоторое изображение.

Z–преобразование

Z–преобразование вытекает из дискретного преобразования Лапласа путем введения новой переменной.

Z–преобразование есть изображение несмещенной или смещенной решетчатых функций, определяемое формулами

, .

Если для данной решетчатой функции f[n] существует такое положительное числоR, что при |z|>Rряд(5)

сходится, то =1/Rназывают радиусом сходимости.

Функция внутри круга сходимости (т.е. круга в плоскостиzс центром в начале координат и радиусом равным) будет аналитической функцией, а ряд (5) будет рядом Лорана. Коэффициенты рядаf[nT] выражаются черезследующим образом:

.

Формулы преобразования могут быть записаны и для непрерывной производящей функции в виде

F(z)=Z{f(t)},t=nT,n=0,1,2… .

В рассматриваемом пространстве введена единичная импульсная решетчатая функция

Эта функция играет в дискретных системах такую же важную роль, как - функция (функция Дирака) в непрерывных системах.

Основные свойства и теоремы z-преобразования

1. Свойство линейности.

Изображение линейной комбинации решетчатых функций равно той же линейной комбинации их изображений.

.

2. Теорема запаздывания.

Рассмотрим решетчатую функцию f[n-m], сдвинутую вправо (запаздывающую) на целое число тактовm. Если обозначитьn-m=r, то

Z{f[n-m]}===.

Если исходная решетчатая функция f[n] равна нулю при отрицательных значениях аргумента, тоz{f[n-m]}=.

3. Изображение разностей.

Для первой обратной разности

.

Если для отрицательных аргументов решетчатая функция тождественно равно нулю, то .

Для k-й обратной разности приf[n]0 дляn<0

,

.

Определение обратной разности и полной суммы (или прямой разности и неполной суммы) решетчатой функции являются обратными операциями. Роль оператора, аналогичного оператору p=c+jωв непрерывных системах, в первом случае играет оператор (z-1)z^-1, а во втором случае – оператор (z-1). В случае перехода к пределу приT0 обе пары операций над решетчатыми функциями сливаются и превращаются в операции дифференцирования и интегрирования непрерывной функции.

4. Конечное значение решетчатой функции.

Если объект (система) устойчивы и предел существует, т.е. если все полюсы (z-1)F(z) находятся внутри единичной окружности |z|=1 наz-плоскости, то

.

Пример. Конечное значение единичной функции определяется следующим образом:

.

5. Начальное значение решетчатой функции.

Если предел существует, то

.

Пример. .

6. Разложение в ряд Лорана (ряд по убывающим степеням z).

.

Разложив любым способом изображение F(z) в ряд Лорана:

, и, сравнивая два ряда между собой, можно установить, что

, ,,…,и т.д.

7. Решение разностных уравнений.

Более удобны для решения разностные уравнения вида

с начальными условиями ,.

Изображение решетчатой функции y[n-m], запаздывающей наmтактов, будет.

Подобные зависимости могут быть записаны для запаздывания на (m-1), (m-2),…, 1 тактов.

В случае нулевых начальных условий .

Если предположить, что решетчатая функция y[n] тождественно равна нулю приn< 0 и, кроме того, функцияf[n] в правой части прикладывается в момент времениn=0, то переход к изображениям дает

.

Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде

,

где W(z) - дискретная передаточная функция.

Пример 1.Определитьz- изображение единичной ступенчатой решетчатой функцииf[nT] приT=1c.

1(t) – производящая функция;

L1(t)=.

; ;.

Используем формулу суммирования убывающей геометрической прогрессии.

Для бесконечно убывающей прогрессии n,

тогда . Знаменатель прогрессииq=z^-1.

Тогда для |z|>1.

Пример 2.Задана решетчатая экспонента, где- постоянная, в общем случае, комплексная величина,T=1c.

;

;

;

;

знаменатель прогрессии q=z^-1.

Для |z| >e^-αT

, где d=e^-αT.

NN n.n.	w(t)	w(nT)	W(p)	W(z)
1 2 . . .	K(t) k1(t) . . .	k k1(nT) . . .	k k/p . . .	k kz/(z-1) . . .