Вопрос №13 : Гармонические колебания.

Гармонические колебания — колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид

или

,

где х — смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А — амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия;ω — циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд; — полная фаза колебаний,— начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

Вопрос №14 : Механические гармонические осцелляторы.

Среди многочисленных примеров колебательных движений следует выделить колебательные системы, обладающие некоторыми общими свойствами:

• для системы характерно наличие положения устойчивого равновесия, которое характеризуется минимумом потенциальной энергии и из которого система может выйти только при внешнем по отношению к системе воздействии;

• при выходе системы из этого положения внутри системы, благодаря её особенностям, возникает сила, которая стремится вернуть систему в положение равновесия (т.е. эта сила направлена к положению равновесия); 

• величина возвращающей силы пропорциональна смещению из положения равновесия;

• если после выведения системы из положения равновесия предоставить её самой себе, то в системе будут происходить колебания (и при отсутствии сил трения они будут неограниченны во времени).

Такая колебательная система называется гармоническим осциллятором, а колебания, происходящие только под действием сил, внутренних для системы, называются собственными или свободными колебаниями осциллятора. Два из таких осцилляторов представлены на рисунке. Ранее было показано, что частота собственных колебаний этих осцилляторов определяется только свойствами самого осциллятора т.е. коэффициентом упругости пружины и величиной массы для пружинного маятника и диной нити и величиной ускорения свободного падения в точке наблюдения для нитяного (математического) маятника. Полная механическая энергия осцилляторавключает кинетическую и потенциальную энергии. Для пружинного маятника это энергия, связянная со скоростью движения, и энергия упруго деформированной пружины Так как и координата и слорость при колебаниях меняются с о временем, то меняются и кинетическая и потенциальная энергии. Проследим, как ведет себя полная энергия осциллятора. Учитывая, что , получим

Вопрос №15 : Собственные незатухающие колебания (пружинный маятник, колеб. Контур)

Сначала рассмотрим колебания пружинного маятника, на который не действуют силы трения – незатухающие свободные колебания. Согласно второму закону Ньютона c учетом знаков проекций на ось X

(1)

Из условия равновесия смещение, вызываемое силой тяжести: . Подставляяв уравнение (1), получим:. Разделив правую и левую часть этого уравнения наm и принимая, что a = d2x/dt2, получим дифференциальное уравнение

. (2)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний пружинного маятника. Из этого уравнения следует, что после прекращения внешнего воздействия, приводящего к первоначальному отклонению системы от положения равновесия, движение груза обусловлено только действием упругой силы (сила тяжести вызывает постоянное смещение).

Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (2) имеет вид

. (3)

Данное уравнение называется уравнением гармонических колебаний. Наибольшее отклонение груза от положения равновесия А0 называется амплитудой колебаний. Величина , стоящая в аргументе косинуса, называетсяфазой колебания. Постоянная φ0 представляет собой значение фазы в начальный момент времени (t = 0) и называется начальной фазой колебаний. Величина

(4)

есть круговая или циклическая частота собственных колебаний, связанная с периодом колебаний Т соотношением . Период колебаний определяется

. (5)