к паре

Матрица рангов.

ранг X, dx	ранг ei, dy	(dx - dy)2
1	7	36
2	10	64
3	3	0
4	15	121
5	11	36
6	6	0
7	13	36
8	8	0
9	14	25
10	5	25
11	9	4
12	16	16
13	4	81
14	1	169
15	2	169
16	12	16
136	136	798

Проверка правильности составления матрицы на основе исчисления контрольной суммы: Сумма по столбцам матрицы равны между собой и контрольной суммы, значит, матрица составлена правильно. По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Связь между признаком e_i и фактором X слабая и обратная Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе H_i. p ≠ 0, надо вычислить критическую точку: где n - объем выборки; p - выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена: t(α, к) - критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n-2. Если |p| < Т_kp - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима. Если |p| > T_kp - нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь. По таблице Стьюдента находим t(α/2, k) = (0.05/2;14) = 2.145 Поскольку T_kp > p, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим и ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам незначимая. Проверим гипотезу H₀: гетероскедастичность отсутствует. Поскольку 2.145 > 0.56, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается. 3. Тест Голдфелда-Квандта. В данном случае предполагается, что стандартное отклонение σ_i = σ(ε_i) пропорционально значению x_i переменной X в этом наблюдении, т.е. σ²_i = σ²x²_i , i = 1,2,…,n. Тест Голдфелда-Квандта состоит в следующем: 1. Все n наблюдений упорядочиваются по величине X. 2. Вся упорядоченная выборка после этого разбивается на три подвыборки размерностей k,(n-2k),k. 3. Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений). 4. Для сравнения соответствующих дисперсий строится соответствующая F-статистика: F = S₃/S₁ Построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числом степеней свободы v₁ = v₂ = (n – c - 2m)/2. 5. Если F > F_kp, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. Этот же тест может использоваться при предположении об обратной пропорциональности между σ_i и значениями объясняющей переменной. При этом статистика Фишера имеет вид: F = S₁/S₃ 1. Упорядочим все значения по величине X. 2. Находим размер подвыборки k = (16 - 4)/2 = 6. где c = 4n/15 = 4*16/15 = 4 3. Оценим регрессию для первой подвыборки. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Система уравнений МНК: a₀n + a₁∑x = ∑y a₀∑x + a₁∑x² = ∑y•x Для наших данных система уравнений имеет вид: 6a₀ + 21a₁ = 1246 21a₀ + 91a₁ = 5198 Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение Получаем a₀ = 47.83, a₁ = 40.27

x	y	x2	y2	x • y	y(x)	(y-y(x))2
1	126	1	15876	126	88.1	1436.77
2	137	4	18769	274	135.92	1.16
3	148	9	21904	444	183.75	1278.23
4	191	16	36481	764	231.58	1646.81
5	274	25	75076	1370	279.41	29.26
6	370	36	136900	2220	327.24	1828.58
21	1246	91	305006	5198	1246	6220.82

Здесь S₁ = 6220.82 Оценим регрессию для третьей подвыборки. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Система уравнений МНК: a₀n + a₁∑x = ∑y a₀∑x + a₁∑x² = ∑y•x Для наших данных система уравнений имеет вид: 6a₀ + 81a₁ = 2052 81a₀ + 1111a₁ = 27952 Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение Получаем a₀ = 14.29, a₁ = 149.14

x	y	x2	y2	x • y	y(x)	(y-y(x))2
11	321	121	103041	3531	306.29	216.51
12	307	144	94249	3684	320.57	184.18
13	331	169	109561	4303	334.86	14.88
14	345	196	119025	4830	349.14	17.16
15	364	225	132496	5460	363.43	0.33
16	384	256	147456	6144	377.71	39.51
81	2052	1111	705828	27952	2052	472.57

Здесь S₃ = 472.57 Число степеней свободы v1 = v2 = (n – c - 2m)/2 = (16 - 4 - 2*1)/2 = 5 Fkp(5,5) = 6.61 Строим обратную F-статистику: F = 6220.82/472.57 = 13.16 Поскольку F > F_kp = 6.61, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. Проверка на наличие автокорреляции остатков. Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями. Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных. В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов. Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето). Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие: 1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию. 2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью. 3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). 4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции. Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными. Обнаружение автокорреляции 1. Графический метод Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения ε_i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения ε_i (либо оценки отклонений). Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции. Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости ε_i от ε_i-1 2. Коэффициент автокорреляции. Если коэффициент автокорреляции r_ei < 0.5, то есть основания утверждать, что автокорреляция отсутствует. Для определения степени автокорреляции вычислим коэффициент автокорреляции и проверим его значимость при помощи критерия стандартной ошибки. Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается по формуле: Коэффициенты автокорреляции случайных данных должны обладать выборочным распределением, приближающимся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равным Если коэффициент автокорреляции первого порядка r₁ находится в интервале: -2.228 • 0.25 < r₁ < 2.228 • 0.25 то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляции первого порядка. Используя расчетную таблицу, получаем: Так как -0.557 < r₁ = 0.0248 < 0.557, то свойство независимости остатков выполняется. Автокорреляции отсутствует. 3. Критерий Дарбина-Уотсона. Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции. При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин e_i.

y	y(x)	ei = y-y(x)	e2	(ei - ei-1)2
126	154.36	-28.36	804.41	0
137	102.49	34.51	1191.22	3953.42
148	159.02	-11.02	121.38	2073.12
191	239.1	-48.1	2313.48	1375.02
274	238.18	35.82	1282.97	7042.11
370	344.39	25.61	655.94	104.19
432	389.84	42.16	1777.23	273.76
445	415.82	29.18	851.73	168.29
367	414.88	-47.88	2292.33	5938.66
367	343.25	23.75	564.14	5130.83
321	350.25	-29.25	855.42	2808.9
307	358.31	-51.31	2632.54	486.68
331	354.68	-23.68	560.62	763.46
345	341.88	3.12	9.71	717.93
364	355.45	8.55	73.16	29.56
384	347.12	36.88	1360.37	802.57
			17346.66	31668.49

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона: Критические значения d₁ и d₂ определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 16 и количества объясняющих переменных m=5. Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие: d₁ < DW и d₂ < DW < 4 - d₂. Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.83 < 2.5, то автокорреляция остатков отсутствует. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям. По таблице Дарбина-Уотсона для n=16 и k=5 (уровень значимости 5%) находим: d₁ = 0.62; d₂ = 2.15. Поскольку 0.62 < 1.83 и 2.15 > 1.83 < 4 - 2.15, то автокорреляция остатков присутствует. Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: