к паре

Матрица X^TX.

16	4909	136	148.7	250.4	274.1	1715.7
4909	1664861	46707	50519.4	77211.1	84495.2	532080.2
136	46707	1496	1301.3	2141.7	2325.7	14892.9
148.7	50519.4	1301.3	1744.03	2326.89	2564.55	16036.2
250.4	77211.1	2141.7	2326.89	3936	4302.45	26867.79
274.1	84495.2	2325.7	2564.55	4302.45	4715.15	29394.46
1715.7	532080.2	14892.9	16036.2	26867.79	29394.46	184282.13

Полученная матрица имеет следующее соответствие:

∑n	∑y	∑x1	∑x2	∑x3	∑x4	∑x5
∑y	∑y2	∑x1 y	∑x2 y	∑x3 y	∑x4 y	∑x5 y
∑x1	∑yx1	∑x1 2	∑x2 x1	∑x3 x1	∑x4 x1	∑x5 x1
∑x2	∑yx2	∑x1 x2	∑x2 2	∑x3 x2	∑x4 x2	∑x5 x2
∑x3	∑yx3	∑x1 x3	∑x2 x3	∑x3 2	∑x4 x3	∑x5 x3
∑x4	∑yx4	∑x1 x4	∑x2 x4	∑x3 x4	∑x4 2	∑x5 x4
∑x5	∑yx5	∑x1 x5	∑x2 x5	∑x3 x5	∑x4 x5	∑x5 2

Найдем парные коэффициенты корреляции.

Признаки x и y	∑xi		∑yi		∑xiyi
Для y и x1	136	8.5	4909	306.813	46707	2919.188
Для y и x2	148.7	9.294	4909	306.813	50519.4	3157.463
Для y и x3	250.4	15.65	4909	306.813	77211.1	4825.694
Для y и x4	274.1	17.131	4909	306.813	84495.2	5280.95
Для y и x5	1715.7	107.231	4909	306.813	532080.2	33255.013
Для x1 и x2	148.7	9.294	136	8.5	1301.3	81.331
Для x1 и x3	250.4	15.65	136	8.5	2141.7	133.856
Для x1 и x4	274.1	17.131	136	8.5	2325.7	145.356
Для x1 и x5	1715.7	107.231	136	8.5	14892.9	930.806
Для x2 и x3	250.4	15.65	148.7	9.294	2326.89	145.431
Для x2 и x4	274.1	17.131	148.7	9.294	2564.55	160.284
Для x2 и x5	1715.7	107.231	148.7	9.294	16036.2	1002.263
Для x3 и x4	274.1	17.131	250.4	15.65	4302.45	268.903
Для x3 и x5	1715.7	107.231	250.4	15.65	26867.79	1679.237
Для x4 и x5	1715.7	107.231	274.1	17.131	29394.46	1837.154

Признаки x и y
Для y и x1	21.25	9919.902	4.61	99.599
Для y и x2	22.628	9919.902	4.757	99.599
Для y и x3	1.078	9919.902	1.038	99.599
Для y и x4	1.217	9919.902	1.103	99.599
Для y и x5	19.092	9919.902	4.369	99.599
Для x1 и x2	22.628	21.25	4.757	4.61
Для x1 и x3	1.078	21.25	1.038	4.61
Для x1 и x4	1.217	21.25	1.103	4.61
Для x1 и x5	19.092	21.25	4.369	4.61
Для x2 и x3	1.078	22.628	1.038	4.757
Для x2 и x4	1.217	22.628	1.103	4.757
Для x2 и x5	19.092	22.628	4.369	4.757
Для x3 и x4	1.217	1.078	1.103	1.038
Для x3 и x5	19.092	1.078	4.369	1.038
Для x4 и x5	19.092	1.217	4.369	1.103

Матрица парных коэффициентов корреляции R:

-	y	x1	x2	x3	x4	x5
y	1	0.678	0.646	0.233	0.226	0.816
x1	0.678	1	0.106	0.174	-0.051	0.96
x2	0.646	0.106	1	-0.00335	0.204	0.273
x3	0.233	0.174	-0.00335	1	0.698	0.235
x4	0.226	-0.051	0.204	0.698	1	0.0308
x5	0.816	0.96	0.273	0.235	0.0308	1

Коллинеарность – зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств: r(x_jy) > r(x_kx_j) ; r(x_ky) > r(x_kx_j). Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот параметр x_k или x_j, связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной. Для отбора наиболее значимых факторов x_i учитываются следующие условия: - связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи; - связь между факторами должна быть не более 0.7. Если в матрице есть межфакторный коэффициент корреляции r_xjxi > 0.7, то в данной модели множественной регрессии существует мультиколлинеарность.; - при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними. Если факторные переменные связаны строгой функциональной зависимостью, то говорят о полной мультиколлинеарности. В этом случае среди столбцов матрицы факторных переменных Х имеются линейно зависимые столбцы, и, по свойству определителей матрицы, det(X^TX = 0). Вид мультиколлинеарности, при котором факторные переменные связаны некоторой стохастической зависимостью, называется частичной. Если между факторными переменными имеется высокая степень корреляции, то матрица (X^TX) близка к вырожденной, т. е. det(X^TX ≧ 0) (чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии). Вычисление определителя показано в шаблоне решения Excel В нашем случае r_x1 x₅ имеют |r|>0.7, что говорит о мультиколлинеарности факторов и о необходимости исключения одного из них из дальнейшего анализа. Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых |r_yxi| < 0.5 исключают из модели. Можно дать следующую качественную интерпретацию возможных значений коэффициента корреляции (по шкале Чеддока): если |r|>0.3 – связь практически отсутствует; 0.3 ≤ |r| ≤ 0.7 - связь средняя; 0.7 ≤ |r| ≤ 0.9 – связь сильная; |r| > 0.9 – связь весьма сильная. Проверим значимость полученных парных коэффициентов корреляции с помощью t-критерия Стьюдента. Коэффициенты, для которых значения t-статистики по модулю больше найденного критического значения, считаются значимыми. Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для r_yx1 по формуле: где m = 1 - количество факторов в уравнении регрессии. По таблице Стьюдента находим Tтабл t_крит(n-m-1;α/2) = (14;0.025) = 2.145 Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для r_yx2 по формуле: Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для r_yx3 по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для r_yx4 по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для r_yx5 по формуле: Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Таким образом, связь между (y и x_x1 ), (y и x_x2 ), (y и x_x5 ) является существенной. Наибольшее влияние на результативный признак оказывает фактор x₅ (r = 0.82), значит, при построении модели он войдет в регрессионное уравнение первым. Тестирование и устранение мультиколлинеарности. Наиболее полным алгоритмом исследования мультиколлинеарности является алгоритм Фаррара-Глобера. С его помощью тестируют три вида мультиколлинеарности: 1. Всех факторов (χ² - хи-квадрат). 2. Каждого фактора с остальными (критерий Фишера). 3. Каждой пары факторов (критерий Стьюдента). 1. Проверим переменные на мультиколлинеарность методом Фаррара-Глоубера по первому виду статистических критериев (критерий "хи-квадрат"). Формула для расчета значения статистики Фаррара-Глоубера: χ² = -[n-1-(2m+5)/6]ln(det[R]) = -[16-1-(2*5+5)/6]ln(0.00193) = 78.12 где m = 5 - количество факторов, n = 16 - количество наблюдений, det[R] - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции R. Сравниваем его с табличным значением при v = m/2(m-1) = 10 степенях свободы и уровне значимости α. Если χ² > χ_табл², то в векторе факторов присутствует мультиколлинеарность. χ_табл²(10;0.05) = 18.30704 2. Проверим переменные на мультиколлинеарность по второму виду статистических критериев (критерий Фишера). Определяем обратную матрицу D = R^-1:

9.15	5.683	-2.916	0.618	-1.24	-12.233
5.683	24.642	1.858	1.826	-0.783	-29.212
-2.916	1.858	2.818	0.597	-0.228	-0.309
0.618	1.826	0.597	2.516	-1.833	-2.956
-1.24	-0.783	-0.228	-1.833	2.499	2.181
-12.233	-29.212	-0.309	-2.956	2.181	39.745

Вычисляем F-критерии Фишера: где d_kk - диагональные элементы матрицы. Рассчитанные значения критериев сравниваются с табличными при v₁=n-m и v₂=m-1 степенях свободы и уровне значимости α. Если F_k > F_Табл, то k-я переменная мультиколлинеарна с другими. v₁=16-5 = 11; v₂=5-1 = 4. F_Табл(11;4) = 5.94 Поскольку F₁ > F_табл, то переменная y мультиколлинеарна с другими. Поскольку F₂ > F_табл, то переменная x₁ мультиколлинеарна с другими. Поскольку F₃ ≤ F_табл, то переменная x₂ немультиколлинеарна с другими. Поскольку F₄ ≤ F_табл, то переменная x₃ немультиколлинеарна с другими. Поскольку F₅ ≤ F_табл, то переменная x₄ немультиколлинеарна с другими. Поскольку F₆ > F_табл, то переменная x₅ мультиколлинеарна с другими. 3. Проверим переменные на мультиколлинеарность по третьему виду статистических критериев (критерий Стьюдента). Для этого найдем частные коэффициенты корреляции. Частные коэффициенты корреляции. Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и x_i) при условии, что влияние на них остальных факторов (x_j) устранено. На основании частных коэффициентов можно сделать вывод об обоснованности включения переменных в регрессионную модель. Если значение коэффициента мало или он незначим, то это означает, что связь между данным фактором и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели. Теснота связи сильная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx1 /x₂ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: где k = 1 - число фиксируемых факторов. По таблице Стьюдента находим Tтабл t_крит(n-k-2;α/2) = (13;0.025) = 2.16 Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Как видим, связь y и x₁ при условии, что x₂ войдет в модель, стала сильнее. Теснота связи умеренная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx1 /x₅ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: где k = 1 - число фиксируемых факторов. По таблице Стьюдента находим Tтабл t_крит(n-k-2;α/2) = (13;0.025) = 2.16 Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Как видим, связь y и x₁ при условии, что x₅ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₁ остается нецелесообразным. Теснота связи сильная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx2 /x₁ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Как видим, связь y и x₂ при условии, что x₁ войдет в модель, стала сильнее. Теснота связи сильная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx2 /x₅ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Как видим, связь y и x₂ при условии, что x₅ войдет в модель, стала сильнее. Теснота связи низкая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx3 /x₁ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₃ при условии, что x₁ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₃ остается нецелесообразным. Теснота связи не сильная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx3 /x₂ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₃ при условии, что x₂ войдет в модель, стала сильнее. Теснота связи низкая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx3 /x₅ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₃ при условии, что x₅ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₃ остается нецелесообразным. Теснота связи не сильная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx4 /x₁ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₄ при условии, что x₁ войдет в модель, стала сильнее. Теснота связи низкая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx4 /x₂ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₄ при условии, что x₂ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₄ остается нецелесообразным. Теснота связи не сильная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx4 /x₅ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₄ при условии, что x₅ войдет в модель, стала сильнее. Теснота связи сильная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx5 /x₁ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Как видим, связь y и x₅ при условии, что x₁ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₅ остается нецелесообразным. Теснота связи сильная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx5 /x₂ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Как видим, связь y и x₅ при условии, что x₂ войдет в модель, стала сильнее. Теснота связи умеренная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx2 /x₅ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Как видим, связь y и x₂ при условии, что x₅ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₂ остается нецелесообразным. Теснота связи низкая. Межфакторная связь слабая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx3 /x₂ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₃ при условии, что x₂ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₃ остается нецелесообразным. Теснота связи низкая. Межфакторная связь слабая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx3 /x₅ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₃ при условии, что x₅ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₃ остается нецелесообразным. Теснота связи низкая. Межфакторная связь слабая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx4 /x₂ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₄ при условии, что x₂ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₄ остается нецелесообразным. Теснота связи низкая. Межфакторная связь слабая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx4 /x₅ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₄ при условии, что x₅ войдет в модель, стала сильнее. Теснота связи сильная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx5 /x₂ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Как видим, связь y и x₅ при условии, что x₂ войдет в модель, стала сильнее. Теснота связи низкая. Межфакторная связь слабая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx3 /x₁ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₃ при условии, что x₁ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₃ остается нецелесообразным. Теснота связи низкая. Межфакторная связь слабая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx3 /x₅ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₃ при условии, что x₅ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₃ остается нецелесообразным. Теснота связи низкая. Межфакторная связь слабая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx4 /x₁ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₄ при условии, что x₁ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₄ остается нецелесообразным. Теснота связи низкая. Межфакторная связь слабая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx4 /x₅ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₄ при условии, что x₅ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₄ остается нецелесообразным. Теснота связи умеренная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx5 /x₁ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Как видим, связь y и x₅ при условии, что x₁ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₅ остается нецелесообразным. Теснота связи сильная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx4 /x₁ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Как видим, связь y и x₄ при условии, что x₁ войдет в модель, стала сильнее. Теснота связи сильная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx4 /x₂ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Как видим, связь y и x₄ при условии, что x₂ войдет в модель, стала сильнее. Теснота связи сильная Определим значимость коэффициента корреляции r_yx4 /x₅ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим Как видим, связь y и x₄ при условии, что x₅ войдет в модель, стала сильнее. Теснота связи низкая. Межфакторная связь слабая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx5 /x₁ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₅ при условии, что x₁ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₅ остается нецелесообразным. Теснота связи низкая. Межфакторная связь слабая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx5 /x₂ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₅ при условии, что x₂ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₅ остается нецелесообразным. Теснота связи низкая. Межфакторная связь слабая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx5 /x₁ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₅ при условии, что x₁ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₅ остается нецелесообразным. Теснота связи низкая. Межфакторная связь слабая. Определим значимость коэффициента корреляции r_yx5 /x₂ . Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим Как видим, связь y и x₅ при условии, что x₂ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₅ остается нецелесообразным. Можно сделать вывод, что при построении регрессионного уравнения следует отобрать факторы x₁ , x₂ , x₅ . Модель регрессии в стандартном масштабе. Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам: где х_ji - значение переменной х_ji в i-ом наблюдении. Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S. Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением: t_y = ∑β_jt_xj Для оценки β-коэффициентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид: r_x1y=β₁+r_x1x2•β₂ + ... + r_x1xm•β_m r_x2y=r_x2x1•β₁ + β₂ + ... + r_x2xm•β_m ... r_xmy=r_xmx1•β₁ + r_xmx2•β₂ + ... + β_m Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции): 0.678 = β₁ + 0.106β₂ + 0.174β₃ -0.051β₄ + 0.96β₅ 0.646 = 0.106β₁ + β₂ -0.00335β₃ + 0.204β₄ + 0.273β₅ 0.233 = 0.174β₁ -0.00335β₂ + β₃ + 0.698β₄ + 0.235β₅ 0.226 = -0.051β₁ + 0.204β₂ + 0.698β₃ + β₄ + 0.0308β₅ 0.816 = 0.96β₁ + 0.273β₂ + 0.235β₃ + 0.0308β₄ + β₅ Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: β₁ = -0.621; β₂ = 0.319; β₃ = -0.0675; β₄ = 0.136; β₅ = 1.337;  Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид: y⁰ = -0.621x₁ + 0.319x₂ -0.0675x₃ + 0.136x₄ + 1.337x₅  Найденные из данной системы β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам: 3. Анализ параметров уравнения регрессии. Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления: Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)