к паре

Y	Y(x)	ε = Y - Y(x)	ε2	(Y-Yср)2	|ε : Y|
126	154.362	-28.362	804.412	32693.16	0.225
137	102.486	34.514	1191.219	28836.285	0.252
148	159.017	-11.017	121.385	25221.41	0.0744
191	239.099	-48.099	2313.485	13412.535	0.252
274	238.181	35.819	1282.97	1076.66	0.131
370	344.389	25.611	655.943	3992.66	0.0692
432	389.843	42.157	1777.226	15671.91	0.0976
445	415.816	29.184	851.73	19095.785	0.0656
367	414.878	-47.878	2292.328	3622.535	0.13
367	343.248	23.752	564.137	3622.535	0.0647
321	350.247	-29.247	855.415	201.285	0.0911
307	358.308	-51.308	2632.54	0.0352	0.167
331	354.677	-23.677	560.623	585.035	0.0715
345	341.883	3.117	9.714	1458.285	0.00903
364	355.446	8.554	73.163	3270.41	0.0235
384	347.117	36.883	1360.37	5957.91	0.096
		0	17346.66	158718.438	1.82

Средняя ошибка аппроксимации Оценка дисперсии равна: s_e² = (Y - X*Y(X))^T(Y - X*Y(X)) = 17346.66 Несмещенная оценка дисперсии равна: Оценка среднеквадратичного отклонения (стандартная ошибка для оценки Y): Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S² • (X^TX)^-1

1197897.738	10884.245	2062.323	3962.184	-2103.679	-12453.848
10884.245	107.713	18.138	32.676	-0.272	-116.338
2062.323	18.138	9.052	17.437	-12.871	-21.943
3962.184	32.676	17.437	248.968	-165.617	-50.928
-2103.679	-0.272	-12.871	-165.617	207.635	11.755
-12453.848	-116.338	-21.943	-50.928	11.755	132.819

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S²_i = K_ii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали Показатели тесноты связи факторов с результатом. Если факторные признаки различны по своей сущности и (или) имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии b_j при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат. К таким показателям тесноты связи относят: частные коэффициенты эластичности, β–коэффициенты, частные коэффициенты корреляции. Частные коэффициенты эластичности. С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле: Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат у с увеличением признака-фактора х_j на 1% от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели. Частный коэффициент эластичности |E₁| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно. Частный коэффициент эластичности |E₂| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно. Частный коэффициент эластичности |E₃| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно. Частный коэффициент эластичности |E₄| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно. Частные коэффициент эластичности |E₅| > 1. Следовательно, он существенно влияет на результативный признак Y. Стандартизированные частные коэффициенты регрессии. Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты (β_j) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора х_j на величину своего среднего квадратического отклонения (S_хj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение). По максимальному β_j можно судить, какой фактор сильнее влияет на результат Y. По коэффициентам эластичности и β-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат. Коэффициент β_j может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (x_j) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели). Косвенное влияние измеряется величиной: ∑β_ir_xj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - r_xj,y. Так для нашего примера непосредственное влияние фактора x₁ на результат Y в уравнении регрессии измеряется β_j и составляет -0.621; косвенное (опосредованное) влияние данного фактора на результат определяется как: r_x1x2β₂ = 0.106 * 0.319 = 0.03392 Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак. 5. Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак производится: - средним коэффициентом эластичности, показывающим на сколько процентов среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора x_i на 1% от своего среднего значения; - β–коэффициенты, показывающие, что, если величина фактора изменится на одно среднеквадратическое отклонение S_xi, то значение результативного признака изменится в среднем на β своего среднеквадратического отклонения; - долю каждого фактора в общей вариации результативного признака определяют коэффициенты раздельной детерминации (отдельного определения): d²_i = r_yxiβ_i. d²₁ = 0.68 • (-0.621) = -0.42 d²₂ = 0.65 • 0.319 = 0.21 d²₃ = 0.23 • (-0.0675) = -0.0157 d²₄ = 0.23 • 0.136 = 0.0307 d²₅ = 0.82 • 1.337 = 1.09 При этом должно выполняться равенство: ∑d²_i = R² = 0.89 Множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции). Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции. В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1. Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина R_y(x1,...,xm). Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат. Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции: где Δ_r - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции; Δ_r11 - определитель матрицы межфакторной корреляции.

1	0.68	0.65	0.23	0.23	0.82
0.68	1	0.11	0.17	-0.051	0.96
0.65	0.11	1	-0.00335	0.2	0.27
0.23	0.17	-0.00335	1	0.7	0.24
0.23	-0.051	0.2	0.7	1	0.031
0.82	0.96	0.27	0.24	0.031	1

Δ_r = 0.00193

1	0.11	0.17	-0.051	0.96	0
0.11	1	-0.00335	0.2	0.27	0
0.17	-0.00335	1	0.7	0.24	0
-0.051	0.2	0.7	1	0.031	0
0.96	0.27	0.24	0.031	1	0
0	0	0	0	0	0

Δ_r11 = 0.0177 Коэффициент множественной корреляции Связь между признаком Y и факторами X_i низкая. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β-коэффициентов. Коэффициент детерминации R² = 0.891 Коэффициент детерминации. R²= 0.944² = 0.891 5. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии). Число v = n - m - 1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров. 1) t-статистика T_табл (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228 Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₀: Статистическая значимость коэффициента регрессии b₀ подтверждается. Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₁: Статистическая значимость коэффициента регрессии b₁ не подтверждается. Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₂: Статистическая значимость коэффициента регрессии b₂ не подтверждается. Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₃: Статистическая значимость коэффициента регрессии b₃ не подтверждается. Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₄: Статистическая значимость коэффициента регрессии b₄ не подтверждается. Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₅: Статистическая значимость коэффициента регрессии b₅ подтверждается. Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии. Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими: (b_i - t_i S_bi; b_i + t_i S_bi) b₀: (-3017.4 - 2.228 • 1094.49 ; -3017.4 + 2.228 • 1094.49) = (-5455.91;-578.88) b₁: (-13.42 - 2.228 • 10.38 ; -13.42 + 2.228 • 10.38) = (-36.54;9.7) b₂: (6.67 - 2.228 • 3.01 ; 6.67 + 2.228 • 3.01) = (-0.0315;13.38) b₃: (-6.48 - 2.228 • 15.78 ; -6.48 + 2.228 • 15.78) = (-41.63;28.68) b₄: (12.24 - 2.228 • 14.41 ; 12.24 + 2.228 • 14.41) = (-19.87;44.34) b₅: (30.48 - 2.228 • 11.52 ; 30.48 + 2.228 • 11.52) = (4.8;56.15) 6. Проверка общего качества уравнения множественной регрессии. Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R² или b₁ = b₂ =... = b_m = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности). Для ее проверки используют F-критерий Фишера. При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R², рассчитанный по данным конкретного наблюдения. По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости α (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k₁=m и k₂=n-m-1. 2) F-статистика. Критерий Фишера. Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y. Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации: Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации. Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных: H₀: R² = 0; β₁ = β₂ = ... = β_m = 0. H₁: R² ≠ 0. Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера (правосторонняя проверка). Если F < F_kp = F_{α ; n-m-1}, то нет оснований для отклонения гипотезы H₀. Табличное значение при степенях свободы k₁ = 5 и k₂ = n-m-1 = 16 - 5 - 1 = 10, Fkp(5;10) = 3.33 Отметим значения на числовой оси.

Принятие H0	Отклонение H0, принятие H1
95%	5%
3.33	16.32

Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно Оценка значимости дополнительного включения фактора (частный F-критерий). Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличить долю объясненной вариации результативного признака. Это может быть связано с последовательностью вводимых факторов (т. к. существует корреляция между самими факторами). Мерой оценки значимости улучшения качества модели, после включения в нее фактора х_j, служит частный F-критерий – F_xj: где m – число оцениваемых параметров. В числителе - прирост доли вариации у за счет дополнительно включенного в модель фактора х_j. Если наблюдаемое значение F_xj больше F_kp, то дополнительное введение фактора x_j в модель статистически оправдано. Частный F-критерий оценивает значимость коэффициентов «чистой» регрессии (b_j). Существует взаимосвязь между частным F-критерием - F_xj и t-критерием, используемым для оценки значимости коэффициента регрессии при j-м факторе: R²(x₅,x_n) = ∑β_jr_j = 0.3187 * 0.6459 -0.0675 * 0.2329 + 0.1356 * 0.2263 + 1.337 * 0.816 = 1.312 F_kp(k1=4;k2=10) = 3.48 Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим: F_x1<3.48, следовательно, фактор х₁ не целесообразно включать в модель после введения факторов х_j. R²(x₅,x_n) = ∑β_jr_j = -0.6211 * 0.678 -0.0675 * 0.2329 + 0.1356 * 0.2263 + 1.337 * 0.816 = 0.685 Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим: F_x2>3.48, следовательно, фактор х₂ целесообразно включать в модель после введения факторов х_j. R²(x₅,x_n) = ∑β_jr_j = -0.6211 * 0.678 + 0.3187 * 0.6459 + 0.1356 * 0.2263 + 1.337 * 0.816 = 0.906 Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим: F_x3<3.48, следовательно, фактор х₃ не целесообразно включать в модель после введения факторов х_j. R²(x₅,x_n) = ∑β_jr_j = -0.6211 * 0.678 + 0.3187 * 0.6459 -0.0675 * 0.2329 + 1.337 * 0.816 = 0.86 Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим: F_x4<3.48, следовательно, фактор х₄ не целесообразно включать в модель после введения факторов х_j. R²(x₅,x_n) = ∑β_jr_j = -0.6211 * 0.678 + 0.3187 * 0.6459 -0.0675 * 0.2329 + 0.1356 * 0.2263 = -0.2 Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим: F_x5>3.48, следовательно, фактор х₅ целесообразно включать в модель после введения факторов х_j. Покажем на примере для x₁. Проверка наличия гетероскедастичности. 1) Методом графического анализа остатков. В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X, а по оси ординат либо отклонения e_i, либо их квадраты e²_i. Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности. 2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Присвоим ранги признаку e_i и фактору X.

X	ei	ранг X, dx	ранг ei, dy
1	28.36	1	7
2	34.51	2	10
3	11.02	3	3
4	48.1	4	15
5	35.82	5	11
6	25.61	6	6
7	42.16	7	13
8	29.18	8	8
9	47.88	9	14
10	23.75	10	5
11	29.25	11	9
12	51.31	12	16
13	23.68	13	4
14	3.12	14	1
15	8.55	15	2
16	36.88	16	12