Сегодня: Friday, July 5, 2019
Лекция 28. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
4.1Квазистационарные токи
4.2Свободные колебания в электрическом контуре без активного сопротивления
4.3Свободные затухающие электрические колебания
4.4Вынужденные электрические колебания
4.5Мощность, выделяемая в цепи переменного тока
4.1 Квазистационарные токи
При рассмотрении электрических колебаний приходится иметь дело с токами, изменяющимися во времени. Закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа были установлены для постоянного тока. Однако они остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющегося тока.
Электромагнитные сигналы распространяются
по цепи со скоростью света с. Пусть l – длина электрической цепи. Тогда время распространенияЬ сигнала в данной цепи t l / c. ТЕсли t T
(T – период колебаний электрическогоА тока), то такие токи называются квазистационарными. При этом условии мгновенноеСзначение силы тока во всех участках цепиИбудет постоянным. Для частоты f П50 Гц условие квазистационарности
выполняется при длине цепи ~ 100 км.
РассматриваяЕ в дальнейшем электрические колебания,Н мы будем считать, что токи квазистационарны.
4.2Свободные колебания в электрическом контуре без активного сопротивления
Вцепи, содержащей индуктивность (L) и ёмкость (С) могут возникать электрические колебания. Такая цепь называется колебательным контуром
Рис. 1
Колебания в контуре можно вызвать либо зарядив конденсатор, либо вызвав в индуктивности ток (например, включив магнитное поле).
Т.к. R = 0, то полная энергия контура E = const
Рисунок 2
Если энергия конденсатора равна нулю, то энергия магнитного поля максимальна и наоборот...
Из сопоставления электрических и механических
колебаний следует, что, энергия электрического поля U q2
2C
упругой деформации, а энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии;
Индуктивность L играет роль массы т 1/С – роль коэффициента жесткости k
Заряду q соответствует смещение маятника х Силе тока I ~ скорость υ
Напряжению U ~ ускорение а
В соответствии с законом Кирхгофа (и законом
сохранения энергии)
R = 0 |
|
|
q |
L |
dI |
|
|
|
|
(28.2.1) |
|
||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
I dq , |
Ei L dI |
, |
|
d2q2 |
1 |
q 0 |
ω0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
dt |
|
|
dt |
|
|
dt |
LC |
|
|
LC |
|||||
Вновь мы получили дифференциальное уравнение |
|||||||||||||||
второго порядка |
d2q |
ω02q 0, (28.2.2) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решением которого является гармоническая функция
q qm cos(ω0t φ) |
(28.2.3) |
Таким образом, заряд на обкладке конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω0 – собственная частота контура. Для периода
колебаний получается так называемая формула Томсона:
T 1 |
|
|
2π |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(28.2.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 2π |
|
|
|
||||||||||||
LC |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
LC |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
ν |
|
|
ω0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
U |
qm |
cos ω0t φ Um cos ω0t φ |
(28.2.5) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
UmC Im ; |
Um |
|
|
L |
|
Im |
|
|
– волновое |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C сопротивл [Ом]. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ω0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
U |
|
I |
|
|
L |
|
Закон Ома |
|
m |
m |
|
|
|||||
C |
||||||||
|
|
|
|
|||||
I |
dq |
|
ω0t φ |
π |
|
dt |
ω0qm sin ω0t φ Im cos |
2 |
|
||
|
|
|
|
||
Im ω0qm ;
На емкости ток опережает напряжение на π/2. На индуктивности наоборот напряжение опережает ток на π/2.
4.3Свободные затухающие электрические колебания
Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают.
Рис. 3