- •Федеральное агентство по образованию
- •1.Краткие теоретические сведения
- •1.1.Микросостояние. Вероятность. Средние значения
- •1.2. Распределение Максвелла
- •1.3.Распределение молекул по модулям скорости
- •1.6. Распределение молекул по энергиям
- •2. Описание экспериментальной установки и методики измерений
- •3. Порядок выполнения работы
- •4. Требования к оформлению отчета
- •5. Контрольные вопросы
- •6.Список литературы
1.2. Распределение Максвелла
Закон распределения по скоростям молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии, был найден Максвеллом (1859).
Представим себе пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которым будем откладывать значения проекций отдельных молекул. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве — конец вектора . Из-за столкновений молекул положения точек будут стремительно меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным, поскольку макросистема находится в термодинамическом равновесии.
Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости (но не от).
, (2)
гдеимеет смысл объемной плотности вероятности. Вероятность же того, что молекула (точка) будет иметь проекции скорости в интервале (), равна отношению
, (3)
где — функция распределения по. Выражение (3) — это по существу интеграл (2) по и, т.е. относительное число молекул (точек) в тонком плоском слое от до+d. Вероятности того, что молекула имеет проекции скорости в интервалах (,+d), (и () являются независимыми, поэтому в соответствии с теоремой об умножения вероятностей независимых событий можно записать
(4)
Из соображения равноправия осей ,иясно, что функцииφ должны одинаковым образом зависеть от соответствующих проекций скоростей. Сопоставив (4) с (2), находим
. (5)
После преобразований (с учетом условия нормировки) получаем
,
аналогичный вид имеют функции и. И тогда согласно (5)
( . (6)
График функции изображен на рис. 4. Он совпадает с гауссовой кривой погрешностей. Площадь тонированной полоски на рис. 4 — это вероятность того, что проекция скорости молекулы лежит в интервале (,+d). Функция (6) нормирована на единицу, т.е. площадь под кривойравна
Интегрирование в пределах от -∞ до +∞ не означает, что в газе есть молекулы с такими большими скоростями. Это следует рассматривать только как вычислительный прием. Молекул с весьма большими скоростями очень мало, и они практически не вносят никакого вклада в нормировочный интеграл. Это и позволяет записывать такие пределы.
1.3.Распределение молекул по модулям скорости
Найдем вероятность или относительное число молекул, модуль скорости которых заключен в интервале (). Таким молекулам соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусами и (рис. 5). Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т.е., объемная же плотность вероятностиво всех точках слоя одинакова. Следовательно, согласно теореме сложения вероятностей, вероятность попадания в этот слой
.
Величина характеризует искомую вероятность, т.е.. Учитывая (6), получим:
. (7)
Эта формула представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости. Вид функции показан на рис. 6. Эта функция тоже нормирована на единицу,
.
На рис.6 пунктиром представлена “конструкция” (сомножители) функции , один из сомножителей которой . Заметим, что в отличие от площадь под кривой физического смысла не имеет.
Полученные Максвеллом распределения по скоростям не зависят ни от структуры молекул, ни от того, как они взаимодействуют друг с другом. Поэтому они применимы не только к газам, но и к другим агрегатным состояниям вещества.
Рассмотрим характерные скорости. К ним относятся три скорости: наиболее вероятная , средняяи среднеквадратичная.
Наиболее вероятной скорости соответствует максимум функции распределения . Эта скорость определяется из условия , откуда следует
.
Средняя скорость по определению равна .
Среднеквадратичная скорость ; она находится из условия
,
откуда .
Средняя скорость молекулы азота при Т=300К равна 480 м/с. Эта величина имеет порядок скорости звука в азоте, = 350 м/с. Приведенные характерные скорости отличаются друг от друга в пропорции
= 1 : 1,13 : 1,22.
Качественно это показано на рис. 6.
Рассмотрим зависимость распределения от температуры. Подставив значение в формулу (7), получим, что.
В соответствии с этим результатом для разных температур кривые распределения будут иметь вид, показанный на рис. 7. Видно, что с увеличением Т максимум функции смещается в сторону больших скоростей, а его величина уменьшается. При этом площадь под всеми тремя кривыми остается равной единице. Кривые на рис. 7 можно рассматривать и иначе — как соответствующие разным массам молекул газа при одной и той же температуре, причем.