minimum_znaniy-1
.docx1. Определенный интеграл
Пусть на некотором промежутке задана функция .
Произведём разбиение отрезка точками . Внутри каждого отрезка возьмём произвольную точку .
- интегральная сумма.
Устремим . Максимум - мелкость разбиения (характеристика разбиения).
Фигура под кривой называется криволинейной трапецией.
- определение определенного интеграла (если предел существует).
Геометрический смысл определенного интеграла - это площадь фигуры, ограниченной прямыми , осью и графиком функции .
2. Формула Ньютона-Лейбница.
Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то .
3. Формула интегрирования по частям
Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .
Замена переменной в определённом интеграле.
Пусть функция
-
определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,
-
,
-
функция непрерывна на отрезке [a, b].
Тогда .
4. Признаки Деламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
Признак Даламбера:
Пусть дан знакоположительный числовой ряд
(7)
и пусть существует предел При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.
Признак Коши:
Пусть дан знакоположительный числовой ряд u1+u2+…+un… (7)
и пусть существует предел При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.
5. Степенной ряд. Теорема Абеля.
Важным случаем функциональных рядов являются степенные ряды:
(13)
или
Для выяснения свойств степенных рядов достаточно ограничиться рассмотрением рядов вида (13), так как ряд по степеням легко свести к виду (13) заменой переменных , т.е. переносом начала координат в точку
Для выяснения характера области сходимости степенного ряда сформулируем следующую теорему:
Теорема 6.1. (Абеля):
Пусть степенной ряд (13) сходится в точке Тогда он сходится абсолютно в любой точке х, для которой и равномерно в любой области .
Если степенной ряд (13) расходится в точке то он расходится и во всех точках таких, что .
Для определения области сходимости степенного ряда используется либо признак Даламбера, либо признак Коши.
6. Ряд Тейлора
Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но а х Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула: это выражение называется формулой Тейлора, а выражение: называется остаточным членом в форме Лагранжа.
7. Частные производные.
Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение . Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается и определяется формулой .
Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение , то z получает частное приращение z по y,.
Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при стремлении к нулю, т.е.
Частная производная обозначается одним из символов.
Аналогично определяется частная производная по y:
.
Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.
8. Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному.
Определение двойного интеграла. Пусть на плоскости XY задана функция и область (P) (область задания функции f(x,y)), её площадь P. Произведём разбиение площади сеткой кривых Pi, где Pi – частичная область. Внутри частичной области возьмём произвольную точку с координатами (ξi,ηi). Составим интегральную сумму: . Пусть λ – характеристика разбиения, которая равна , где di – диаметр частичной области. Диаметр – максимальное расстояние между любой парой точек в области. Устремим λ к нулю. Если существует предел интегральных сумм , то этот предел и называется двойным интегралом: .
Сведение к повторному:
Формула в общем виде: .
9. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:
где p(x) и h(y) − непрерывные функции. Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):
Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения. Обозначив , запишем уравнение в форме:
Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:
где C − постоянная интегрирования. Вычисляя интегралы, получаем выражение
описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными
10. уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Дифференциальное уравнение вида
(1)
где , f - известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами.
Если , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным.