Глава 3.Некоторые аспекты эконометрического анализа

3.1. Нелинейные моделирегрессии

Рассмотренная модель множественной регрессии является линейной, и линия регрессии представляет собой прямую или гиперплоскость в многомерном пространстве. Реальные экономические зависимости редко представляются в виде прямых, гораздо чаще речь идет о тех или иных экономических кривых. Нелинейными зависимостями описываются многие экономические законы – спроса и предложения, потребления, производственные функции и др.

На первом этапе исследования аналитик может определить нелинейность модели на основе экономической логики. Если проводится исследование уже известных экономических зависимостей, нелинейность объясняется непосредственно экономической теорией. Например, зная, что на зависимость объема выпуска от объема ресурсов производства действует закон убывающей отдачи, исследователь будет заведомо пытаться это учесть при построении модели (конечно, с обязательной проверкой гипотезы о действии этого закона). Часто основанием для проверки нелинейности служит опыт исследователя и его логика.

В качестве примера, рассмотрим нашу регрессионную модель цены на квартиру. При изучении линейной модели мы сделали вывод о том, что при увеличении жилой площади дома на один квадратный метр его цена возрастает на 225,092 долларов. Однако логика подсказывает, что цена каждого дополнительного метра площади не является постоянной, а зависит от общего размера дома. Вывод о виде нелинейности (выпуклость или вогнутость) не всегда является однозначным. Разница в цене дополнительного метра площади между большими и маленькими домами может быть как в пользу больших, так и в пользу маленьких домов. С одной стороны, в больших домах увеличение площади на один квадратный метр обладает гораздо меньшей полезностью по сравнению с маленькими домами (и квадратный метр может стоить дешевле). С другой – большие дома, как правило, относятся к элитной категории, имеют дополнительные преимущества (например, хороший район, охрана и т.п.), и дополнительный метр в них может стоить и дороже. В любом случае – гипотеза о нелинейности требует исследования.

После того, как выявлена потенциальная нелинейность в зависимостях, ее необходимо учесть в регрессионной модели. В некоторых случаях для анализа нелинейных зависимостей можно применить линейный регрессионный анализ, предварительно выполнив линеаризацию модели. Для этого исходные переменные заменяются преобразованными так, чтобы по новым переменным модель была линейной.

Чаще всего для включения в модель нелинейности (квадратичной, степенной, логарифмической и т.п.) используют следующие виды преобразования модели:

1.квадратичная: y = β0 + β1x + β2x2 + ε, которая преобразуется следующим образом: вводятся новые переменные z1=x, z2=x2 и получают линейную модель: y = β0 + β1 z1+ β2z2+ε ;

2.логарифмическая: y = β0 +β1log(x)+ ε. Заменив z= log(x), получим y = β0

+ β1 z+ε.

3.степенная: y = β0 + β1xc +ε , где c – некоторое известное число, например, равное –1, ½ и т.п. Заменой z=xс, получим линейную

модель: y = β0 + β1 z+ε.

Возможно преобразование не только независимых, но и зависимых переменных. Так, в модели вида: lgy = β0 + β1 x+ε, заменив lgy на z, получим z = β0 + β1 x+ε. Аналогично поступают с другими видами зависимостей, для которых возможна линеаризация.

Выбор той или иной зависимости для проверки определяется исследователем эмпирически. Можно выбирать и более сложные функциональные формы, однако это может привести к трудности интерпретации результатов моделирования.

Задача 2 (продолжение)

Имеются данные о зависимости прибыли у (тыс. руб) от расходов на рекламу (тыс. руб) х1 и стоимости основных фондов х2 (тыс. руб). Данные приведены в таблице 2.1.

На основании данных таблицы подберите регрессионную модель, обеспечивающей наилучшее приближение.

Решение

Из анализа диаграмм рассеивания (рис. 3.1 и рис.3.2) возможно предположить, что связь между зависимой переменной у и регрессорами х1 и х2, имеет нелинейный характер.

Э = f ′(x) xy ,

где f’(x) – производная функции. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на

1%.

Проведем линеаризацию модели, прологарифмируем и получим:

lny = lnβ0 + β1 x1+β2 x2+lnε.

Построим уравнение регрессии по табл. 2.1, используя Анализ данных. Для этого необходимо провести преобразование переменной у на lny, используя Мастер функции fx (рис. 3.3).

Построим регрессию Сервис→Анализ данных →Регрессия. В качестве зависимой переменной следует указать переменную lny.

В результате получим рис. 3.4.

Рис. 3.3. Логарифмирование переменной у

Рис. 3.4. Результат логарифмической регрессии

Получили уравнение регрессии:

Само уравнение и коэффициенты регрессии значимо отличаются от нуля. Коэффициенты при переменных и х2 означают, что при изменении расходов на рекламу на 1%, прибыль увеличивается на 0,047%, и при изменении стоимости основных фондов на 1% прибыль увеличивается на

0,016%.

Коэффициент детерминации R2=0,88 показывает, что приближение модели достаточно точное. Однако, если сравнить его с полученным коэффициентом детерминации линейного уравнения, полученного ранее в разделе 2.2 R2=0,98, то нелинейная регрессия будет менее точная, чем линейная.

Аналогично можно построить различные виды регрессионных уравнений. Выбор того или иного вида определяется анализом диаграммы рассеивания и экономическим смыслом коэффициентов регрессии. Предлагаем построить логарифмические, полиномиальные и прочие виды зависимостей самостоятельно.