лаб / 3_1

ОБНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ (ИАТЭ)

Кафедра общей и специальной физики

Отчет по лабораторной работе №3:

Статистические методы обработки экспериментальных данных.

Выполнил: студент 1курса гр. МВ-05

Проверил:

ОБНИНСК 2013

Цель работы:

1. Опытным путём обнаружить влияние случайных погрешностей на результаты измерений.

2. Изучить статистические методы обработки экспериментальных данных.

Перечень оборудования:

1. Доска Гальтона.

2. Линейка.

Краткая теория.

Случайные явления часто встречаются в физике и технике, например, при многократных измерениях физических величин, при стрельбе в цель, при изучении теплового движения молекул, радиоактивного распада и т.д. Предсказать результат отдельного случайного явления невозможно, на нём сказывается влияние большого числа факторов, не поддающихся контролю. Случайные явления описываются с помощью теории вероятности и статистических законов, дающих возможность определить вероятность, с которой осуществляется то или иное событие в серии случайных событий, наиболее вероятные и средние значения этих величин, стандартные отклонения и т.п. Для подобного рода вычислений необходимо знать закон или функцию распределения. Для очень широкого класса физических явлений таким законом является закон Гаусса или нормальное распределение Гаусса. Это распределение имеет место в том случае, если случайная величина зависит от большого числа факторов, могущих вносить с равной вероятностью положительные и отрицательные отклонения. Закон нормального распределения имеет вид (1).На рисунке 1 показан график распределения Гаусса; на нём представлены две кривые с разными мерами точности, причём h1>h2. Чем больше мера точности, тем меньше разброс результатов измерений относительно их среднего значения и выше точность измерений. Важной характеристикой случайной величины является её среднее квадратичное отклонение от среднего  (2) или стандартное отклонение.

Дисперсия распределения вычисляется по формуле (3).С учётом этого, распределение Гаусса имеет вид (4). Определение меры точности h данной серии случайных величин распределяющихся по нормальному закону, состоит в том, чтобы найти такое h, при котором появление данной серии величин было бы наиболее вероятным. Вероятность P появления серии случайных величин равна произведению вероятностей появления каждой из этих величин (5).Мера точности h определяется из условия максимума вероятности P (6).Для стандартного отклонения  и дисперсии D получим соответственно (7) и (8) .

Распределение Максвелла задаёт распределение молекул газа по скоростям при их хаотическом тепловом движении. Случайные столкновения молекул при их движении в газе приводит к случайным же изменениям их скоростей как по величине так и по направлению. Скорость молекул удобно изобразить точкой в 3-х мерном пространстве скоростей. Совокупность скоростей всех молекул газа заполнит пространство скоростей с некоторой плотностью, пропорциональной плотности вероятности нахождения того или иного значения скорости. Вдоль любого направления в пространстве скоростей случайные отклонения в ту или иную сторону равновероятны, поэтому в качестве функции распределения для этого направления можно взять распределение Гаусса.

Распределение Максвелла по компонентам скоростей (9). Распределение Максвелла по модулю скорости (10).На рисунке 2 показана механическая модель, с помощью которой проводится опыт.

Порядок выполнения работы:

Упражнение №1. Случай выборки небольшого объёма.

1. Опуская по 1 зерну в воронку и занося результат каждого попадания в таблицу №1, провести 5 серий (выборок) измерений по 10 опытов в каждой серии.

2. Найти среднее <x> и среднеквадратичное отклонение S_n для каждой выборки, пользуясь формулами:

<x>= (1) и (2).

Записать результат измерений для каждой серии как : х =

3. Найти среднее значение <<x>> полученных в пункте 2 средних <x>.

4. Рассматривая <x> как x_i, а <<x>> как <x>, найти по формуле (2) среднеквадратичное отклонение для среднего и сравнить полученный результат с значением для каждой выборки.

Упражнение №2. Случай генеральной совокупности.

1. Высыпать в воронку большое количество зерна. Измерить при помощи линейки высоту зерна h_i в каждой ячейке. Данные занести в таблицу №2.

2. Вычислить вероятность попадания частицы в ячейку с координатой x_i по формуле: .

3. Найти оценку координаты воронки по формуле:

4. Измерить ширину Г распределения зерна по ячейкам на половине максимальной высоты. Показать исходя из формулы Гаусса:

(3), что Г = , откуда найти параметр . Сравнить результат со среднеквадратичной погрешностью, полученной в пункте 4 упражнение №1.

5. Построить по данным таблицы №2 ступенчатый график (гистограмму) P(x_i).

6. Построить в этих же координатных осях теоретический график P(x_i), расчитанный по формуле (3) с найденными в п. п. 3 и 4 параметрами. Для того, чтобы получить вероятность результата x_i, который включает в себя все экспериментально неотличимые значения измеряемой величины в интервале от до , нужно значение функции плотности вероятности умножить на ширину интервала dx: P(x_i) = . В данном случае dx = 1.

Сводные таблицы.

Таблица №1.

№ серии № опыта	1	2	3	4	5
1	-1	-5	-1	0	-4
2	-4	-1	2	2	3
3	-2	4	1	-1	-1
4	-1	1	0	-1	1
5	-4	1	2	-3	0
6	2	1	4	1	-3
7	2	1	0	-1	0
8	-2	-1	0	0	-3
9	-3	1	2	0	-1
10	2	0	-3	-2	2
<x>	-1,1	0,2	0,7	-0,5	-0,6
Sn	2,4	2,35	2,03	1,58	2,4
	0,76	0,74	0,64	0,5	0,76

Таблица №2.

xi	-5	-4	-3	-2	-1	-0	1	2	3	4	5
hi	1	2.5	4	5.5	6	6.5	6.2	4.5	3	2	0.7
Pi	0,024	0,06	0,1	0,13	0,14	0,15	0,15	0,11	0,07	0,05	0,02

Обработка результатов.

Упражнение №1. Случай выборки небольшого объёма.

1. Опускаю по 1 зерну в воронку и заношу результат каждого попадания в таблицу №1, провожу 5 серий (выборок) измерений по 10 опытов в каждой серии.

2. Нахожу среднее <x> и среднеквадратичное отклонение S_n для каждой выборки:

1 серия: <x>= = -1.1 =2,4.

2 серия: <x>= = 0,2 =2,35.

3 серия: <x>= = 0,7 = 2,03

4 серия: <x>= = -0,5 = 1,58

5 серия: <x>= = -0,6 = 2,4

Записываю результат измерений для каждой серии как : х =

1 серия: x₁= -1.11,74.

2 серия: x₂= 0,21,71.

3 серия: x₃= 0,71,48.

4 серия: x₄= -0,51,15.

5 серия: x₅= -0,61,75.

3. Среднее значение <<x>> полученных в пункте 2 средних <x> равно <<x>>= -1,3 .

4. Рассматривая <x> как x_i, а <<x>> как <x>, нахожу по формуле (2) среднеквадратичное отклонение для среднего: =1,36.

и сравниваю полученный результат с значением для каждой выборки.

Упражнение №2. Случай генеральной совокупности.

1. Высыпаю в воронку большое количество зерна. Измеряю при помощи линейки высоту зерна h_i в каждой ячейке. Данные заношу в таблицу №2.

2. Вычисляю вероятность попадания частицы в ячейку с координатой x_i по формуле: .

P(x₁)= 0,024 P(x₂)= 0,06 P(x₃)=0,1 P(x₄)= 0,13 P(x₅)= 0,14 P(x₆)= 0,15 P(x₇)= 0,15 P(x₈)= 0,11 P(x₉)= 0,07 P(x₁₀)= 0,05 P(x₁₁)= 0,02

3. Нахожу оценку координаты воронки по формуле:

=-0,098.

4. Измеряю ширину Г распределения зерна по ячейкам на половине максимальной высоты Г=6 см. Исходя из формулы Гаусса:

(3),

Г = , откуда параметр == 2.55.

5. Строю по данным таблицы №2 ступенчатый график (гистограмму) P(x_i).

6. Строю в этих же координатных осях теоретический график P(x_i), расчитаный по формуле (3) с найденными в п. п. 3 и 4 параметрами.

P(x_i)(теоретический):

P(x₁)= 0,025 P(x₂)= 0,048 P(x₃)= 0,081 P(x₄)= 0,12 P(x₅)= 0,15 P(x₆)= 0,156 P(x₇)= 0,143 P(x₈)= 0,11 P(x₉)= 0,075 P(x₁₀)= 0,043 P(x₁₁)= 0,021

Вывод:

Опытным путём обнаружил влияние случайных погрешностей на результаты измерений. Изучил статистические методы обработки экспериментальных данных.